Ποιος ο λόγος ;

KARKAR · #1

: Ποιος ο λόγος.png (9.31 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει γνωστές τις πλευρές AB=c

και

. Η κάθετος

προς τη διχοτόμο

, στο ίχνος της

, τέμνει τη διάμεσο

στο

και την

στο

.

α) Αν c=3

και

, υπολογίστε το λόγο : $\lambda=\dfrac{DP}{PS}$ .

β) Υπολογίστε τον λόγο $\lambda$ για οποιαδήποτε b,c

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 07, 2018 10:00 am Ποιος ο λόγος.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ έχει γνωστές τις πλευρές και . Η κάθετος

προς τη διχοτόμο , στο ίχνος της , τέμνει τη διάμεσο στο και την στο .

α) Αν και , υπολογίστε το λόγο : $\lambda=\dfrac{DP}{PS}$ .

β) Υπολογίστε τον λόγο $\lambda$ για οποιαδήποτε .

Η

τέμνει την

στο

και προφανώς είναι AS=AT.

Θέτω

: Ποιός ο λόγος.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Θεώρημα Μενελάου διαδοχικά στα τρίγωνα ABC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {TDS}$ και DSC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {APM} :$

1) $\displaystyle \frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{SC}}{{SA}} \cdot \frac{{AT}}{{BT}} = 1 \Leftrightarrow \frac{c}{b} \cdot \frac{{b - x}}{x} \cdot \frac{x}{{x - c}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{2bc}}{{b + c}}}$ (1)

2) $\displaystyle \frac{{DP}}{{PS}} \cdot \frac{x}{b} \cdot \frac{{MC}}{{DM}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{DP}}{{PS}} = \frac{{bDM}}{{xMC}} = \frac{{b\left( {\frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}}} \right)}}{{x \cdot \frac{a}{2}}} = \frac{{b(b - c)}}{{x(b + c)}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{ \lambda = \frac{{b - c}}{{2c}}}$

Για την περίπτωση c=3

και

είναι $\lambda=\dfrac{1}{6}$

#3

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει την

στο

. Θα είναι :

$\left\{ \begin{gathered} AK = AB = c \hfill \\ \frac{{KS}}{{SC}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{c}{b} \hfill \\ DM = BM - BD = \frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{KS}}{{KC}} = \frac{c}{{b + c}} \hfill \\ DM = \frac{{ab}}{{2(b + c)}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{KS}}{{b - c}} = \frac{c}{{b + c}} \hfill \\ DM = \frac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ή τελικά

$\left\{ \begin{gathered} DM = \frac{{a(b-c)}}{{2(b + c)}} \hfill \\ AS = AK + KS = \frac{{2bc}}{{b + c}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Για ποιό λόγο.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές

Μετά απ’ αυτά με Θ. Μενελάου στο $\vartriangle SDC$ και διατέμνουσα $\overline {APM}$ έχω :

$\displaystyle \dfrac{{SP}}{{PD}} \cdot \dfrac{{DM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CA}}{{AS}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{DP}}{{PS}} = \dfrac{{DM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CA}}{{AS}} = \dfrac{{\frac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}}}}{{\dfrac{a}{2}}} \cdot \dfrac{b}{{\dfrac{{2bc}}{{b + c}}}}$ δηλαδή

$\displaystyle \boxed{\frac{{DP}}{{PS}} = \frac{{b - c}}{{2c}}}$

#4

Αν φέρω από το

κάθετη στη διχοτόμο

που την κόψει στο

και την

στο

θα είναι $\boxed{NK = NC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BK = b - c}$ . Έστω

το σημείο τομής των $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NC$ .

Επειδή $\boxed{NM// = \frac{1}{2}BK}$ ( συνδέει μέσα πλευρών τριγώνου ) αν η

κόψει την

στο

θα είναι $\boxed{AQ = QC}$ .

: Ποιός ο λόγος.png (30.95 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές

Επί της ουσίας ζητάμε το λόγο $\boxed{\lambda = \frac{{NL}}{{LC}}}$ .

Από το Θ. Ceva

στο $\vartriangle ANC$ έχω : $\boxed{\frac{{ND}}{{DA}} \cdot \frac{{AQ}}{{QC}} \cdot \dfrac{{CL}}{{LN}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{NL}}{{LC}} = \frac{{ND}}{{DA}} = \frac{{NM}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{{b - c}}{2}}}{c} = \dfrac{{b - c}}{{2c}}}$ .

Ποιος ο λόγος ;

Ποιος ο λόγος ;

Re: Ποιος ο λόγος ;

Re: Ποιος ο λόγος ;

Re: Ποιος ο λόγος ;

Μέλη σε σύνδεση