Λόγος και κατασκευή

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή εβδομάδα σε όλους. Το θέμα ΑΥΤΟ αφετηρία για το παρόν:

: Για την κατασκευή..χρυσοθήρας.PNG (8.17 KiB) Προβλήθηκε 1082 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

. Θεωρούμε σημείο $D \in AB$ και

στην ημιευθεία

ώστε να ισχύει $\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\lambda$ .

Φέρουμε από το

την κάθετη στην διχοτόμο της $\widehat{A}$ που τέμνει την

στο

.

Ι) Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{BE}{EC}$ , ως συνάρτηση του $\lambda$ .

Αν επιπλέον το $\left ( BED \right )$ είναι ο γεωμετρικός μέσος των $\left ( DECA \right )$ και $\left ( BAC \right )$ τότε

ΙΙ) Να εντοπιστεί , με κανόνα και διαβήτη , το σημείο

. Ευχαριστώ , Γιώργος.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Δευ Μάιος 20, 2019 1:37 am Καλή εβδομάδα σε όλους. Το θέμα ΑΥΤΟ αφετηρία για το παρόν:
Για την κατασκευή..χρυσοθήρας.PNG
Δίνεται τρίγωνο . Θεωρούμε σημείο $D \in AB$ και στην ημιευθεία ώστε να ισχύει $\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\lambda$ .

Φέρουμε από το την κάθετη στην διχοτόμο της $\widehat{A}$ που τέμνει την στο .

Ι) Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{BE}{EC}$ , ως συνάρτηση του $\lambda$ .

Αν επιπλέον το $\left ( BED \right )$ είναι ο γεωμετρικός μέσος των $\left ( DECA \right )$ και $\left ( BAC \right )$ τότε

ΙΙ) Να εντοπιστεί , με κανόνα και διαβήτη , το σημείο . Ευχαριστώ , Γιώργος.

Χριστός Ανέστη!

α)

Έστω $\widehat{A}=2\vartheta$
Φέρω παράλληλη από το

στην

και

η τομή της με την

Είναι $\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DL}{AC}=\dfrac{DF}{AC}\Rightarrow DF=DL$

Από το ισοσκελές DFL

: $\widehat{DFL}=\dfrac{180-2\vartheta }{2}=90-\vartheta =\widehat{DFL}=\widehat{DFE}\Rightarrow E\equiv L$

Οπότε αφού $DE\parallel AC$

$\dfrac{AC}{BE}=\dfrac{1}{\lambda }\Leftrightarrow 1+\dfrac{EC}{BE}=\dfrac{1}{\lambda }\Leftrightarrow \dfrac{BE}{EC}=\dfrac{\lambda }{1-\lambda }$

β)
Φέρω τα ύψη όπως φαίνεται στο σχήμα και είναι :
$\dfrac{u_1}{u_1+u_2}=\dfrac{DE}{AC}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{u_1}{u_2}=\dfrac{DE}{AC-DE}$

Οπότε
$\left ( DBE \right )^2=\left ( ABC \right )\left ( DACE \right )\Leftrightarrow DE^2\cdot u_1^2=AC\left ( u_1+u_2 \right )\left ( DE+AC \right )u_2\Leftrightarrow DE^4+DE^2\cdot AC^2-AC^4=0\Leftrightarrow DE^2=\dfrac{AC^2}{\phi }\Leftrightarrow AB=BD\cdot \sqrt{\phi}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ σε όλους. Σ' ευχαριστώ πολύ Πρόδρομε για την ωραία αντιμετώπιση του παρόντος!!
Ας δώσω μόνο την εικόνα για τον εντοπισμό του σημείου

.

: Κατασκευή και λόγος ΙΙ.PNG (17.11 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

Φιλικά , Γιώργος.

Λόγος και κατασκευή

Λόγος και κατασκευή

Re: Λόγος και κατασκευή

Re: Λόγος και κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση