Επιδίωξη ομοιότητας

KARKAR · #1

: Επιδίωξη ομοιότητας.png (9.02 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές

Στις πλευρές AC,BC

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ εντοπίστε σημεία P,S

, τέτοια ώστε το τμήμα

να μην είναι παράλληλο προς την

, το τρίγωνο όμως SPC

, να είναι όμοιο με το $\displaystyle ABC$

και αν σχεδιάσουμε το παραλληλόγραμμο SCPT

, η κορυφή του

να είναι σημείο της

.

Εφαρμογή : Το σχήμα έγινε με : AB=6 , AC=8 , BC=9

.

#2

$\vartriangle ABC \approx \vartriangle SPC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ABC \approx \vartriangle ATP$ άρα:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{PS}}{c} = \frac{{PC}}{a} = \frac{{sc}}{b} \hfill \\ \frac{{AT}}{{SP}} = \frac{{TP}}{{PC}} = \frac{{AP}}{{SC}} \hfill \\ TC = SC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC = TS \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow T{P^2} = AP \cdot PC \Rightarrow \boxed{{x^2} = u(b - u)}\,\,(1)$

: Ζητείται ομοιότητα.png (17.84 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Αλλά $\displaystyle \boxed{\frac{u}{b} = \frac{x}{a} \Rightarrow u = \frac{{bx}}{a}}\,\,\,(2)$ άρα λόγω της (1)

, $\boxed{x = \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}$ .

Προσδιορίζω λοιπόν το

και ο κύκλος (A,B,S)

τέμνει ακόμα την

στο

.

#3

Αν εντοπιστεί το

τα υπόλοιπα είναι απλά, αφού ST||AC, TP||BC.

: Επιδίωξη ομοιότητας.png (14.45 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

Κατασκευή του σημείου Με κάθετες πλευρές BC, CQ=AC

κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο

BCQ,

και έστω

το ύψος του. Η προβολή του

πάνω στη

είναι το ζητούμενο σημείο

Έχει κανείς αντίρρηση;

KARKAR · #4

: Αντίρρηση , όχι.png (18.34 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

Αντίρρηση όχι , απορία ναι : Θεωρούμε γνωστό το προηγηθέν αποτέλεσμα ;

#5

Η ανάλυση που προηγήθηκε της κατασκευής είναι η εξής:

Με τις ομοιότητες βρίσκω $\displaystyle SC = \frac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}},$ οπότε $\displaystyle \frac{{BS}}{{SC}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}.$

Αυτό παραπέμπει στο θεώρημα: "Ο λόγος των τετραγώνων των καθέτων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου
ισούται με το λόγο των προβολών τους στην υποτείνουσα". Έτσι επινοήθηκε το ορθογώνιο τρίγωνο.

KARKAR · #6

Σπουδαία παρατήρηση : Στο κατασκευασθέν σχήμα ισχύει : $\dfrac{CP}{CA}+\dfrac{CS}{CB}=1$

Επιδίωξη ομοιότητας

Επιδίωξη ομοιότητας

Re: Επιδίωξη ομοιότητας

Re: Επιδίωξη ομοιότητας

Re: Επιδίωξη ομοιότητας

Re: Επιδίωξη ομοιότητας

Re: Επιδίωξη ομοιότητας

Μέλη σε σύνδεση