Γεωμετρικός τόπος μέσου τμήματος

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

194.PNG (28.24 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Έστω δύο σταθεροί κύκλοι και τυχαίο σημείο του επιπέδου.Έστω ότι η πολική ευθεία του ως προς τον κύκλο τέμνει την πολική ευθεία του ως προς τον κύκλο στο .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του τμήματος καθώς το κινείται στο επίπεδο.

[min##]

Καλησπέρα Πρόδρομε.
Δεν είναι δύσκολο να δούμε οτι η εκ του παράλληλη στην είναι ο ριζικός άξονας του (εκφυλισμένος κύκλος) και του πράσινου κύκλου,ενώ η εκ του παράλληλη στην είναι ο ριζικός άξονας του και του κόκκινου κύκλου.
Συνεπώς,πάντοτε το ανήκει στον ριζικό άξονα των 2 κύκλων κλπ.

[Doloros]

194.PNG

Έστω δύο σταθεροί κύκλοι και τυχαίο σημείο του επιπέδου.Έστω ότι η πολική ευθεία του ως προς τον κύκλο τέμνει την πολική ευθεία του ως προς τον κύκλο στο .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου του τμήματος καθώς το κινείται στο επίπεδο.

Γεωμετρικός τόπος Φωτιάδη_ok_σχήμα.png (43.7 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Επειδή το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο κέντρου

Οι κοινές χορδές του κύκλου αυτού με τους δύο κύκλους τέμνουν του κύκλους σε δύο σημεία τον καθένα .

Έστω τα δύο απ αυτά ( ένα σε κάθε κύκλο )

Τα είναι ίσα εφαπτόμενα τμήματα σ αυτούς και άρα το ανήκει στο ριζικό άξονα των δύο δεδομένων κύκλων .

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις, μία ακόμη στο σχήμα του κ.Νίκου :
Έστω οι ακτίνες των κύκλων ( του πράσινου) και δύο σημεία τομής των πολικών με τους αντίστοιχους κύκλους(ένα στον καθένα).Θα δείξω ότι ανήκει στον ριζικό άξονα των δύο κύκλων.
Αρκεί (χρησιμοποίησα το πρώτο θεώρημα διαμέσου).

Από συνθήκη καθετότητας είναι άρα όμοια .