Γεωμετρικός τόπος και μέσος

#1

: Γεωμετρικός μέσος και τόπος.png (7.67 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές

Έστω

εσωτερικό σημείο ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=AC)

και

οι προβολές του στις BC,

αντίστοιχα. Αν

είναι ο γεωμετρικός μέσος των ME, MF

να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

Al.Koutsouridis · #2

george visvikis έγραψε: Τρί Μαρ 03, 2020 12:54 pm Γεωμετρικός μέσος και τόπος.png
Έστω εσωτερικό σημείο ισοσκελούς τριγώνου και οι προβολές του στις

αντίστοιχα. Αν είναι ο γεωμετρικός μέσος των να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του

: geometrikos_topos_kai_mesos.png (7.84 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Τα τετράπλευρα AFME

,

και

είναι εγράψιμα και εφόσον στο τρίγωνό μας $\angle B = \angle C$ θα έχουμε και $\angle DMF = \angle DME$ .

Η σχέση $MD^2=ME \cdot ME$ που μας δίνεται γράφεται ισοδύναμα $\dfrac{ME}{MD} = \dfrac{MD}{MF}$ και λόγω της παραπάνω ισότητας γωνιών προκύπτει, ότι τα τρίγωνα MED

και

είναι όμοια. Για ευκολία στο γράψιμο συμβολίζoυμε με x,y

δυο από τις γωνίες αυτών των τριγώνων όπως στο σχήμα παραπάνω. Καθώς και τις ίσες προς αυτές λόγω των εγράψιμων τετραπλέυρων BFMD

και

.

Εξετάζουμε το εμβαδόν του τριγώνου MBC

μέσο δυο διαφορετικών σχέσεων

$\displaystyle{\dfrac{1}{2} \sin \angle BMC \cdot MB \cdot MC = \dfrac{1}{2} BC \cdot MD \Rightarrow \sin \angle BMC = \dfrac{BC \cdot MD}{MB \cdot MC}= \dfrac{(BD+DC)MD}{MB \cdot MC} = }$

$\displaystyle{= \dfrac{BD \cdot MD}{MB \cdot MC}+\dfrac{DC \cdot MD}{MB \cdot MC} =\cos x \cdot \sin y + \cos y \cdot \sin x = \sin (x+y) = const.}$

Άρα το τμήμα

φαίνεται υπό σταθερή γωνία από το

. Επομένως το σημείο

κινείται σε τόξο κύκλου. Επειδή το έγκεντρo

επαληθεύει τις συνθήκες του προβλήματος το κομμάτι του τόξου, είναι το τόξο BIC

του περιγεγγραμένου κύκλου του τριγώνου BCI

.

Edit: Της νύχτας τα καμώματα...προφανώς τα τελευταία με τους λόγους και τα ημίτονα δεν χρειάζονται, κάτι άλλο θα σκεφτόμουν

.

S.E.Louridas · #3

Επίσης και μόνο για λόγους πλουραλισμού παίρνουμε:

Από τα όμοια τρίγωνα που ανέφερε στην όμορφη λύση του ο κ. Κουτσουρίδης και από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $MDCE,\quad MFBD$
προκύπτει η ισότητα $\angle MCB = \angle MBA.$
Άρα ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο MBC

κύκλος εφάπτεται της σταθερής

στο σταθερό σημείο σημείο

οπότε είναι μοναδικός ………

Γεωμετρικός τόπος και μέσος

Γεωμετρικός τόπος και μέσος

Re: Γεωμετρικός τόπος και μέσος

Re: Γεωμετρικός τόπος και μέσος

Μέλη σε σύνδεση