Κατασκευαστικός λόγος

#1

Η διχοτόμος

και το ύψος

τριγώνου

τέμνονται σε σημείο

έτσι ώστε

Δίνεται ακόμα ότι $AB=7\sqrt 3$ και AD=11.

α) Να κατασκευάσετε το τρίγωνο.

β) Επί της πλευράς

θεωρούμε σημείο

ώστε

Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AS}{SC}.$

Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης και γι' αυτό δεν δίνεται.

edit: Ο Γιώργος Μήτσιος μάντεψε σωστά!
Το αρχικό μου ερώτημα ήταν πράγματι ο λόγος $\dfrac{BD}{DC}.$ Βάζοντας όμως στο σχήμα το γράμμα

αυτό δεν έβγαζε νόημα.
Παρόλ' αυτά, ξέχασα όμως να το αλλάξω

Τώρα το διόρθωσα και το ερώτημα είναι ο υπολογισμός του $\dfrac{AS}{SC}.$

#2

: Κατασκευαστικός λόγος.png (27.42 KiB) Προβλήθηκε 1421 φορές

Αβίαστα προκύπτουν οι γωνίες το σχήματος

Εύκολα μετά :

$BD = \sqrt {37}$ και

$\boxed{\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{10}}{{11}}}$

περισσότερες λεπτομέρειες αργότερα.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ! Μια συνεισφορά στη λύση του Νίκου με χρήση του σχήματος.

: Κατασκευαστικός λόγος.PNG (14.58 KiB) Προβλήθηκε 1401 φορές

Είναι φανερό ότι $3\theta =90^ \circ \Rightarrow \theta =30^ \circ$ . Φέρω $DF \perp AC$ .Τα μήκη στο σχήμα υπολογίζονται πλέον εύκολα.

Η κατασκευή μπορεί ν' αρχίσει από το τρίγωνο KAB

με $\widehat{K}=120^ \circ$ και AK=KB=7

μετά την

, την $\widehat{KAE}=30^ \circ$ και τέλος την τομή

των

και

.

Το τρίγωνο BAS

με $\widehat{A}=60^ \circ ...BS=AB$ είναι βεβαίως ισόπλευρο. Από το θ. διχοτόμου και τα όμοια τρίγωνα παίρνουμε

$\dfrac{b+c}{b}=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{BE}{DF}=\dfrac{21/2}{11/2}=\dfrac{21}{11}\Rightarrow \dfrac{c}{b}=\dfrac{10}{11}$ οπότε $\dfrac{BS}{SC}=\dfrac{c}{b-c}=10$ που θαρρώ είναι ο λόγος που ζητάει ο Γιώργος.

Φιλικά, Γιώργος.

#4

george visvikis έγραψε: Τρί Απρ 21, 2020 7:45 pm Η διχοτόμος και το ύψος τριγώνου τέμνονται σε σημείο έτσι ώστε

Δίνεται ακόμα ότι $AB=7\sqrt 3$ και α) Να κατασκευάσετε το τρίγωνο.

β) Επί της πλευράς θεωρούμε σημείο ώστε Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{AS}{SC}.$

Το σχήμα αποτελεί μέρος της λύσης και γι' αυτό δεν δίνεται.

edit: Ο Γιώργος Μήτσιος μάντεψε σωστά!
Το αρχικό μου ερώτημα ήταν πράγματι ο λόγος $\dfrac{BD}{DC}.$ Βάζοντας όμως στο σχήμα το γράμμα αυτό δεν έβγαζε νόημα.
Παρόλ' αυτά, ξέχασα όμως να το αλλάξω Τώρα το διόρθωσα και το ερώτημα είναι ο υπολογισμός του $\dfrac{AS}{SC}.$

Γιώργο και Γιώργο ευχαριστώ που τα απλουστεύσατε όλα .

Ανάλυση

Επειδή $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _{}}}$ στο ορθογώνιο τρίγωνο EAK

η μια οξεία γωνία του είναι διπλάσια της άλλης άρα $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 30^\circ }$ .

Κατασκευή :

Γράφω κύκλο $\left( {K,7} \right)$ και εγγράφω σ αυτόν ισόπλευρο τρίγωνο ABS

.

Στην ημιευθεία

θεωρώ σημείο

, για το οποίο : KD = 4

. Οι ευθείες $AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ τέμνονται στο

.

: Κατασκευαστικός λόγος_new.png (37.82 KiB) Προβλήθηκε 1365 φορές

Υπολογισμός λόγου .

Από το τρίγωνο $KBD\,\,$ και το Θ συνημιτόνου έχω: $DB = \sqrt {37}$

Ας είναι $DC = x\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = b$ θα ισχύουν ταυτόχρονα :

$\left\{ \begin{gathered} A{D^2} = AB \cdot AC - DB \cdot DC \hfill \\ \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {11^2} = 7b\sqrt 3 - x\sqrt {37} \hfill \\ b = \frac{{7x\sqrt 3 }}{{\sqrt {37} }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{x = \frac{{11\sqrt {37} }}{{10}}} \Rightarrow \boxed{\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{10}}{{11}}}$ .

Έτσι : $\boxed{\frac{{AS}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{10}}{{11}} \Rightarrow \frac{{AS}}{{AC - AS}} = 10 \Rightarrow \frac{{AS}}{{SC}} = 10}$

Κατασκευαστικός λόγος

Κατασκευαστικός λόγος

Re: Κατασκευαστικός λόγος

Re: Κατασκευαστικός λόγος

Re: Κατασκευαστικός λόγος

Μέλη σε σύνδεση