Ιδιόμορφο τρίγωνο

#1

: Ιδιόμορφο τρίγωνο.png (22.84 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στις πλευρές $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ υπάρχουν σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε :

$\widehat {EBD} = 2\widehat {DBA}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BDE} = \widehat {{C_{}}}$ . Ας πούμε ότι $\boxed{AD = k = 2}$ τότε:

α) Να βρείτε το τμήμα x = ED

β) Αν επιπλέον $\left( {DEC} \right) = \left2( {ABD} \right)$ να βρείτε το $\left( {ABC} \right)$

γ) Αν το τμήμα AD = k

δεν είναι μήκους

και ισχύουν κατά τα άλλα, τα α και β ερωτήματα, πόσο πρέπει να επιλεγεί το μήκος του για να είναι AC = 9

;

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 1:39 pm Ιδιόμορφο τρίγωνο.png

Σε ορθογώνιο τρίγωνο , στις πλευρές $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ υπάρχουν σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε :

$\widehat {EBD} = 2\widehat {DBA}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BDE} = \widehat {{C_{}}}$ . Ας πούμε ότι $\boxed{AD = k = 2}$ τότε:

α) Να βρείτε το τμήμα

β) Αν επιπλέον $\left( {DEC} \right) = \left( {ABD} \right)$ να βρείτε το $\left( {ABC} \right)$

γ) Αν το τμήμα δεν είναι μήκους και ισχύουν κατά τα άλλα, τα α και β ερωτήματα, πόσο πρέπει να επιλεγεί το μήκος του για να είναι ;

α)

Θεωρούμε τη διχοτόμο της γωνίας DBC

και

κάθετη σ αυτήν .Τότε AD=DH=HZ=2

Είναι, $\angle ZED= \angle DZE=2 \omega + \theta \Rightarrow DE=DZ=4$

β)

$(BDZ)=2(ABD) \Rightarrow (BDE)+(DEZ)=(DCZ)+(DEZ) \Rightarrow (BED)=(DCZ)$ άρα BE=CZ

Εύκολα τώρα, $\triangle DBE= \triangle DZC \Rightarrow \angle \theta =2 \omega$ (οπότε $5\omega =90^0 \Rightarrow \omega =18^0$ )

Επομένως BE=ED=DZ=ZC=4

άρα $b-2=a-4 \Rightarrow a=b+2$ .

Επιπλέον ισχύουν a^2=b^2+c^2

και με Π.Θ στο τρίγωνο ABD

κι εύκολα καταλήγουμε

στην εξίσωση b^2-8b-4=0

απ όπου $b=2(2+ \sqrt{5} )$ οπότε $c=2 \sqrt{6+2 \sqrt{5} }$ και $(ABC)=2 \sqrt{6+2 \sqrt{5 } } .(2+ \sqrt{5)}$

γ) Αν κατάλαβα καλά τα δεδομένα

Με AD=x

τότε

και όμοια σκεπτόμενοι όπως στο β ερώτημα BE=ED=DZ=ZC=2x

άρα

οπότε

Ισχύει $DZ^2=CZ . a \Rightarrow (9-x)^2=2x(9+x) \Leftrightarrow x^2+36x-81=0$ απ όπου $AD=x=9( \sqrt{5}-2) \approx 2,124$

: Ιδιόμορφο τρίγωνο.png (24.29 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

#3

Doloros έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 1:39 pm Ιδιόμορφο τρίγωνο.png

Σε ορθογώνιο τρίγωνο , στις πλευρές $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ υπάρχουν σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε :

$\widehat {EBD} = 2\widehat {DBA}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BDE} = \widehat {{C_{}}}$ . Ας πούμε ότι $\boxed{AD = k = 2}$ τότε:

α) Να βρείτε το τμήμα

β) Αν επιπλέον $\left( {DEC} \right) = \left2( {ABD} \right)$ να βρείτε το $\left( {ABC} \right)$

γ) Αν το τμήμα δεν είναι μήκους και ισχύουν κατά τα άλλα, τα α και β ερωτήματα, πόσο πρέπει να επιλεγεί το μήκος του για να είναι ;

Δυστυχώς ο δαίμονας του ... πληκτρολογίου έκανε την ζαβολιά του και δεν έβαλα ένα

στο δεύτερο ερώτημα παρ ότι το σχήμα ήταν σχετικά σωστό .

Ευχαριστώ το Μιχάλη για την λύση . Έχει κι άλλες κι αξίζει ν ασχοληθείτε , τώρα που είναι σωστή 100% η εκφώνηση .

: Ιδιόμορφο τρίγωνο_ok.png (22.35 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

#4

Doloros έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 1:39 pm

Σε ορθογώνιο τρίγωνο , στις πλευρές $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ υπάρχουν σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε :

$\widehat {EBD} = 2\widehat {DBA}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BDE} = \widehat {{C_{}}}$ . Ας πούμε ότι $\boxed{AD = k = 2}$ τότε:

α) Να βρείτε το τμήμα

β) Αν επιπλέον $\left( {DEC} \right) = \left2( {ABD} \right)$ να βρείτε το $\left( {ABC} \right)$

γ) Αν το τμήμα δεν είναι μήκους και ισχύουν κατά τα άλλα, τα α και β ερωτήματα, πόσο πρέπει να επιλεγεί το μήκος του για να είναι ;

Νίκο καλησπέρα από Γρεβενά...

Εγώ το αντιμετώπισα τριγωνομετρικά και με την αρχική σου διατύπωση.

Ερώτημα α)

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ιδιόμορφο τρίγωνο 1.png (17.72 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Στο τρίγωνο $\displaystyle{BDE}$ εφαρμόζουμε το νόμο των ημιτόνων. Έτσι είναι:

$\displaystyle{\frac{x}{sin(2\omega)}=\frac{BD}{sin\phi}=\frac{BD}{sin(2\omega+C)} \Rightarrow }$

$\displaystyle{x=\frac{sin(2\omega)}{sin(2\omega+C}\cdot BD=\frac{sin(2\omega)}{sin(2\omega+C)}\cdot \frac{2}{sin\omega}=}$

$\displaystyle{=\frac{4sin\omega cos\omega}{sin\omega \cdot sin(2\omega +C)}=\frac{4cos\omega}{sin(2\omega+C)}=\frac{4sinm}{sin(2\omega +C)}=}$

$\displaystyle{=4\frac{sin(2\omega +C)}{sin(2\omega +C)} = 4 \Rightarrow x=4 \ \ (1)}$

Ερώτημα β)

Στο δεύτερο σχήμα έστω ότι είναι: $\displaystyle{(ABD)=(DEC) \ \ (2) }$

: Ιδιόμορφο τρίγωνο 2.png (16.13 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων : $\displaystyle{ABC, BD\Theta}$ είναι:

$\displaystyle{\frac{a}{BD}=\frac{b}{D\Theta}=\frac{c}{B\Theta} \Rightarrow \frac{a}{BD}=\frac{b}{4+E\Theta}=\frac{c}{B\Theta} \ \ (3)}$

Όμοια από την ομοιότητα των τριγώνων: $\displaystyle{(ABD),(B\Theta E)}$ προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{2}{E\Theta}=\frac{BD}{BE}=\frac{c}{B\Theta} \ \ (4)}$

Από τις (3) και (3) προκύπτουν εύκολα οι τιμές:

$\displaystyle{E\Theta=\frac{8}{b-2} \ \ (5)}$

$\displaystyle{BD=\frac{4a}{b-2} \ \ (6)}$

Έτσι από την (2) προκύπτει:

$\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot 2 (BD) sin(90^o-\omega)=\frac{1}{2} \cdot 4(b-2) sin(90^o+\omega -C)\ \ (7)}$

Η (7) μετά από εύκολες πράξεις και σύμφωνα με την (6), δίνει:

$\displaystyle{\frac{cos(\omega -C)}{cos(\omega)}=\frac{2a}{(b-2)^2} \ \ (8)}$

Από την (8) τελικά μετά από πράξεις έχουμε:

$\displaystyle{tan\omega=\frac{2a^2-b(b-2)^2}{c(b-2)^2} \ \ (9)}$

Επειδή τώρα είναι:

$\displaystyle{tan\omega =\frac{2}{c}}$

από την (9) προκύπτει:

$\displaystyle{c=\frac{2c(b-2)^2}{2a^2-b(b-2)^2} \ \ (10)}$

Έτσι τελικά είναι:

$\displaystyle{(ABC)=\frac{1}{2}bc=\frac{bc(b-2)^2}{2a^2-b(b-2)^2} \ \ (11)}$

Ο τύπος αυτός λειτουργεί στο ακόλουθο τρίγωνο του επομένου σχήματος που ικανοποιεί την (2)

: Ιδιόμορφο τρίγωνο 3.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές

Παρατηρήσεις
1η) Με την ίδια ιδέα θα μπορούσε να μας είχε δοθεί και κάποια άλλη σχέση των εμβαδών των
δύο αυτών τριγώνων.

2η) Το ερώτημα (γ) μελετάται με την ίδια σειρά θέτοντας αντί του $\displaystyle{AD=2}$ το $\displaystyle{AD=k, 0<k<b}$ .

Κώστας Δόρτσιος

#5

Doloros έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 1:39 pm Ιδιόμορφο τρίγωνο.png

Σε ορθογώνιο τρίγωνο , στις πλευρές $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ υπάρχουν σημεία $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ αντίστοιχα , τέτοια ώστε :

$\widehat {EBD} = 2\widehat {DBA}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BDE} = \widehat {{C_{}}}$ . Ας πούμε ότι $\boxed{AD = k = 2}$ τότε:

α) Να βρείτε το τμήμα

β) Αν επιπλέον $\left( {DEC} \right) = \left2( {ABD} \right)$ να βρείτε το $\left( {ABC} \right)$

γ) Αν το τμήμα δεν είναι μήκους και ισχύουν κατά τα άλλα, τα α και β ερωτήματα, πόσο πρέπει να επιλεγεί το μήκος του για να είναι ;

Φέρνω τη διχοτόμο

του τριγώνου DEC.

: Ιδιόμορφο τρίγωνο.png (17.37 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές

α) $\displaystyle E\widehat DZ = Z\widehat DC = D\widehat BE = 2\omega ,\widehat C = \theta ,$ άρα τα τρίγωνα BDE, DZC

είναι όμοια, οπότε

$\displaystyle D\widehat EB = D\widehat ZC \Leftrightarrow D\widehat ZE = D\widehat EZ = \theta + 2\omega \Leftrightarrow DE = DZ$ και BD=BZ.

Αλλά,

$\displaystyle DZ = 2BD\sin \omega = 2k$ και για k=2,

$\boxed{DE=DZ=4}$

β) $\displaystyle (BDZ) = \frac{1}{2}B{D^2}\sin 2\omega = B{D^2}\sin \omega \cos \omega = (BD\cos \omega )(BD\sin \omega ) =$

$\displaystyle AD \cdot BD\sin \omega = 2(ABD) = (DEC),$ οπότε τα τρίγωνα ADE, CDZ

είναι ίσα και $2\omega = \theta = 36^\circ.$

Άρα, $\displaystyle BE = ZC = 4$ και $\displaystyle {c^2} + 4 = B{D^2} = D{C^2} = {(b - 2)^2} \Leftrightarrow {c^2} = {b^2} - 4b.$ Αλλά,

$\displaystyle DC = 8\cos 36^\circ,$ δηλαδή, $\displaystyle b = 2(2 + \sqrt 5 ),$ οπότε ${c^2} = 4(5 + 2\sqrt 5 ) \Leftrightarrow c = 2\sqrt {5 + 2\sqrt 5 } \Rightarrow$

$\boxed{(ABC) = \frac{{bc}}{2} = 2(2 + \sqrt 5 )\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }}$

γ) Αν b=9,

τότε

και $\boxed{a=(9-k)\Phi}$ Είναι ακόμα $\displaystyle {c^2} + {k^2} = {(9 - k)^2} \Leftrightarrow {c^2} = 81 - 18k$

και $\displaystyle {a^2} = {b^2} + {c^2} \Rightarrow {(9 - k)^2}{\Phi ^2} = 18(9 - k) \Leftrightarrow$ $\boxed{k = 9\left( {\frac{{\Phi - 1}}{{\Phi + 1}}} \right)}$

Ιδιόμορφο τρίγωνο

Ιδιόμορφο τρίγωνο

Re: Ιδιόμορφο τρίγωνο

Re: Ιδιόμορφο τρίγωνο

Re: Ιδιόμορφο τρίγωνο

Re: Ιδιόμορφο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση