Άλλη μία διπλάσια γωνία

#1

: Άλλη μία διπλάσια γωνία.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Το σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου

και

είναι η προβολή του πάνω στη διάμετρο.

Το

είναι σημείο του τόξου $\overset\grown{AM},$ έτσι ώστε $\displaystyle M\widehat AD = 2M\widehat AP.$ Να δείξετε ότι AP<AD.

#2

george visvikis έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 5:50 pm Άλλη μία διπλάσια γωνία.png
Το σημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου και είναι η προβολή του πάνω στη διάμετρο.

Το είναι σημείο του τόξου $\overset\grown{AM},$ έτσι ώστε $\displaystyle M\widehat AD = 2M\widehat AP.$ Να δείξετε ότι

Γιώργο, μένω ευχάριστα έκπληκτος.

Η άγνωστη ανισότητα του Αρχιμήδη για την οποία αναφέρθηκα εδώ, είναι ακριβώς αυτή που γράφεις. Συγκεκριμένα, σε ισοδύναμη Τριγωνομετρική μορφή, αν $\angle PAM =\theta$ , τότε $\angle MAD = 2\theta$ και $\angle PAD = 3 \theta$ , άρα

$AP = AB \cos 3 \theta$ και $AD = AM \cos 2\theta = (AB \cos 2\theta) \cos 2\theta = AB \cos ^2 2\theta$ .

Δηλαδή το αποδεικτέο είναι $\cos 3 \theta < \cos ^2 2\theta$ .

Αυτό ήδη αποδείχθηκε Τριγωνομετρικά στην παραπομπή και, εννοείται, για εδώ θέλουμε Γεωμετρική απόδειξη, όπως άλλωστε έκανε ο Αρχιμήδης. Δεν γράφω την απόδειξή του, εν αναμονή αποδείξεων από τα μελη μας.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 6:40 pm
george visvikis έγραψε: Παρ Ιαν 15, 2021 5:50 pm Άλλη μία διπλάσια γωνία.png
Το σημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου και είναι η προβολή του πάνω στη διάμετρο.

Το είναι σημείο του τόξου $\overset\grown{AM},$ έτσι ώστε $\displaystyle M\widehat AD = 2M\widehat AP.$ Να δείξετε ότι
Γιώργο, μένω ευχάριστα έκπληκτος.

Η άγνωστη ανισότητα του Αρχιμήδη για την οποία αναφέρθηκα εδώ, είναι ακριβώς αυτή που γράφεις. Συγκεκριμένα, σε ισοδύναμη Τριγωνομετρική μορφή, αν $\angle PAM =\theta$ , τότε $\angle MAD = 2\theta$ και $\angle PAD = 3 \theta$ , άρα

$AP = AB \cos 3 \theta$ και $AD = AM \cos 2\theta = (AB \cos 2\theta) \cos 2\theta = AB \cos ^2 2\theta$ .

Δηλαδή το αποδεικτέο είναι $\cos 3 \theta < \cos ^2 2\theta$ .

Αυτό ήδη αποδείχθηκε Τριγωνομετρικά στην παραπομπή και, εννοείται, για εδώ θέλουμε Γεωμετρική απόδειξη, όπως άλλωστε έκανε ο Αρχιμήδης. Δεν γράφω την απόδειξή του, εν αναμονή αποδείξεων από τα μελη μας.

Μιχάλη, πρώτη φορά άκουσα για την άγνωστη ανισότητα του Αρχιμήδη. Ό,τι έγραψα, προέκυψε στην προσπάθειά

μου να αποδείξω (με γεωμετρικό τρόπο) την ανισότητα της παραπομπής. Με μεγάλο ενδιαφέρον αναμένω την απόδειξη

του ίδιου του Αρχιμήδη.

Άλλη μία διπλάσια γωνία

Άλλη μία διπλάσια γωνία

Re: Άλλη μία διπλάσια γωνία

Re: Άλλη μία διπλάσια γωνία

Μέλη σε σύνδεση