Πολύπλοκο μέσο

KARKAR · #1

: Πολύπλοκο μέσο.png (17.21 KiB) Προβλήθηκε 993 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

, θεωρούμε σημείο

της

και σημείο

της προέκτασης της

,

ώστε : $TD \perp DS$ . Από το

, φέρω παράλληλη προς την

, η οποία τέμνει τον κύκλο

(D , C , T )

στα σημεία N , L

. Οι ευθείες LD , DN

τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης

στα σημεία P , Q

. Δείξτε ότι το

είναι το μέσο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο , θεωρούμε σημείο της και σημείο της προέκτασης της ,

ώστε : $TD \perp DS$ . Από το , φέρω παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τον κύκλο

στα σημεία . Οι ευθείες τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης

στα σημεία . Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

Τα σημεία

είναι ομοκυκλικά ( δυο απέναντι ορθές γωνιές ) , άρα <PLB=<PTB:(1)

Ομοίως

ομοκυκλικά (τα N,B

"Βλέπουν " την

υπό ορθές γωνιές , άρα <BTQ=<BNQ:(2)

Η

είναι εφαπτόμενη του πρασίνου κύκλου και συνεπώς <BNQ=<SDN

(λόγω παραλληλίας) =<DLN=<PLB:(3)

Από

προκύπτει ότι <BTQ=<PTB

και συνεπώς το τρίγωνο PTQ

είναι ισοσκελες (

ύψος και διχοτομος), αρα και διάμεσος και το ζητούμενο εχει αποδειχθεί

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο , θεωρούμε σημείο της και σημείο της προέκτασης της ,

ώστε : $TD \perp DS$ . Από το , φέρω παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τον κύκλο

στα σημεία . Οι ευθείες τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης

στα σημεία . Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

Λανθασμένη λύση, ευχαριστώ τον κύριο Θανάση για την ενημέρωση

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο , θεωρούμε σημείο της και σημείο της προέκτασης της ,

ώστε : $TD \perp DS$ . Από το , φέρω παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τον κύκλο

στα σημεία . Οι ευθείες τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης

στα σημεία . Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

εγγράψιμμα ,οπότε $\angle L_{1}= \angle P_{1}$ και $\angle TQB= \angle N_{1}$

$TD \bot DS \Rightarrow TD \bot LN$ κι επειδή

διάμετρος,θα είναι μεσοκάθετη της $LN\Rightarrow \angle L_{1} = \angle N_{1}$

Άρα $\angle P_{1} = \angle TQP \Rightarrow PB=BQ$

: Πολύπλοκο μέσο.png (34.24 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 05, 2021 7:45 pm Πολύπλοκο μέσο.png Στο ορθογώνιο , θεωρούμε σημείο της και σημείο της προέκτασης της ,

ώστε : $TD \perp DS$ . Από το , φέρω παράλληλη προς την , η οποία τέμνει τον κύκλο

στα σημεία . Οι ευθείες τέμνουν τις προεκτάσεις της βάσης

στα σημεία . Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

Αλλιώς

εγγράψιμμα ,οπότε $\angle Q_{1}= \angle B_{1}=\angle P_{1$

$TD \bot DS \Rightarrow TD \bot LN$ κι επειδή

διάμετρος,θα είναι μεσοκάθετη της $LN\Rightarrow TL = TN$

Άρα $\triangle LTP= \triangle TNQ \Rightarrow PL=NQ$

Ισχύει, $\dfrac{QB}{BS} = \dfrac{QN}{ND} = \dfrac{LP}{LD} = \dfrac{BP}{BS} \Rightarrow QB=BP$

: Πολύπλοκο μέσο.png (38.54 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

Πολύπλοκο μέσο

Πολύπλοκο μέσο

Re: Πολύπλοκο μέσο

Re: Πολύπλοκο μέσο

Re: Πολύπλοκο μέσο

Re: Πολύπλοκο μέσο

Μέλη σε σύνδεση