Ώρα εφαπτομένης 136

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 136.png (6.48 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

, το ύψος προς την

, ισούται με την

. Αν

είναι το μέσο της

και η

είναι κάθετη προς την

, υπολογίστε την $\tan\hat{A}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 04, 2022 7:09 pm Ώρα εφαπτομένης 136.pngΣτο παραλληλόγραμμο , το ύψος προς την , ισούται με την . Αν

είναι το μέσο της και η είναι κάθετη προς την , υπολογίστε την $\tan\hat{A}$ .

: Ώρα ςφαπτομένης 136_1.png (21.79 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

$\boxed{\tan \theta = \varphi = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 04, 2022 7:09 pm Ώρα εφαπτομένης 136.pngΣτο παραλληλόγραμμο , το ύψος προς την , ισούται με την . Αν

είναι το μέσο της και η είναι κάθετη προς την , υπολογίστε την $\tan\hat{A}$ .

Ας είναι

το μέσο του

,

το ύψος του $\vartriangle DAB$ . Το τετράπλευρο ANCM

είναι παραλληλόγραμμο και έτσι : $TB = TS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TS = SD$ .

Θέτω : $TB = TS = SD = u\,\,,\,\,AK = x \Rightarrow NB = a - x$ . Με a = AB = CD = DK

.

Προφανώς ο κύκλος διαμέτρου

διέρχεται από τα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ . Θα ισχύουν ταυτόχρονα:

: Ώρα εφαπτομένης 136_κατασκευή_λύση.png (20.01 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές

$\left\{ \begin{gathered} BT \cdot BD = BK \cdot BA \hfill \\ \frac{{KB}}{{BT}} = \frac{{DK}}{{AT}} \hfill \\ A{T^2} = A{B^2} - B{T^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 3{u^2} = \left( {a - x} \right)a \hfill \\ \frac{{a - x}}{u} = \frac{a}{{AT}} \hfill \\ A{T^2} = {a^2} - {u^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 3{u^2} = a\left( {a - x} \right) \hfill \\ \frac{{{{\left( {a - x} \right)}^2}}}{{{u^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} - {u^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μεταξύ των δύο πιο πάνω διώχνω το ${u^2}$ και έχω : ${x^2} = a\left( {a - x} \right)$ , κλασσική περίπτωση διαίρεσης του ευθυγράμμου τμήματος

σε μέσο και άκρο λόγο.

Επειδή $\boxed{\tan \theta = \frac{a}{x} = \frac{x}{{a - x}} \Rightarrow \tan \theta = \varphi }$

Παρατήρηση:

Η πιο πάνω τριχοτόμηση υπάρχει ως άσκηση σε όλα τα σχολικά βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας . Την θυμάμαι και στο (ανεπανάληπτο) βιβλίο: Νικολάου Δ. Νικολάου που είχα στα μαθητικά μου χρόνια ( Κλασσικό σχολείο γάρ!)

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 04, 2022 7:09 pm Ώρα εφαπτομένης 136.pngΣτο παραλληλόγραμμο , το ύψος προς την , ισούται με την . Αν

είναι το μέσο της και η είναι κάθετη προς την , υπολογίστε την $\tan\hat{A}$ .

$\displaystyle BC = 2MD,MD||BC \Rightarrow BS = 2SD$

: Ώρα εφαπτομένης 136.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 848 φορές

$\displaystyle 2(BCD) = (ABCD) \Leftrightarrow BD \cdot CS = {a^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{CS = \frac{{{a^2}}}{{BD}}}$ (1)

Εύκολα $\displaystyle \tan \varphi = 2\tan \omega \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \tan \omega = \frac{{B{D^2}}}{{3{a^2}}},$ οπότε $\displaystyle \tan \theta = \tan (\varphi + \omega ) = \frac{{3\tan \omega }}{{1 - 2{{\tan }^2}\omega }} \Leftrightarrow$

$\boxed{tan \theta = \frac{{9{a^2}B{D^2}}}{{9{a^4} - 2B{D^4}}}}$ (2)

Αλλά με Π.Θ στο DSC

είναι, $\displaystyle {a^2} = \frac{{B{D^2}}}{9} + \frac{{{a^4}}}{{B{D^2}}},$ απ' όπου παίρνω

$\displaystyle B{D^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\left( {3 - \sqrt 5 } \right)$ και αντικαθιστώντας στην (2),

$\boxed{\tan \theta = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2} = \Phi }$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα σε όλους, χαιρετώ τους Φίλους και δη τους ... ακατάπαυστους Θανάση, Νίκο και Γιώργο!

Με χρήση του σχήματος, όπου πρόσθεσα .. .. και την κατασκευή πάνω απ' το όνομά μου

: 6-10 tan 136 .png (208.27 KiB) Προβλήθηκε 811 φορές

Με

μέσον της

θέτω χωρις βλάβη OA=OB=1

οπότε

.

Ας είναι AM=MD=x

και

Από την συνθήκη καθετότητας παίρνουμε $4-x^2=4x^2-k^2\Leftrightarrow k^2=5 x^2-4$ .

Ακόμη στα ορθ. MAN

και

έχουμε $AN=\sqrt{x^2-1}$ και $BN=\sqrt{k^2-1}=\sqrt{5x^2-5}$

άρα $AN+BN=AB=2\Rightarrow \sqrt{x^2-1}+\sqrt{5\left ( x^2-1 \right )}=2$ έπεται $\sqrt{x^2-1}=\dfrac{1}{\Phi }\Leftrightarrow x^2=1+\dfrac{1}{\Phi ^2}$

Βρίσκουμε $AD^2=4x^2=4+\dfrac{4}{\Phi ^2}=EZ^2$ (*) , άρα AD=EZ

. Τα ορθογώνια ADH

και

είναι ίσα συνεπώς

$tan\theta =tan\omega =\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}=\Phi$ .

(*) Η πρόσθετη κατασκευή κρίνεται (με δεύτερη ματιά) μη απαραίτητη

αφού στο ορθ. ADH

προκύπτει $AH^2=4/\Phi^2$ επομένως $tan\theta =\dfrac{2}{2/\Phi }=\Phi$

$\Phi$ ιλικά, Γιώργος.

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Οκτ 06, 2022 12:55 am Καλημέρα σε όλους, χαιρετώ τους Φίλους και δη τους ... ακατάπαυστους Θανάση, Νίκο και Γιώργο!

Με χρήση του σχήματος, όπου πρόσθεσα .. .. και την κατασκευή πάνω απ' το όνομά μου

6-10 tan 136 .png

Με μέσον της θέτω χωρις βλάβη οπότε .

Ας είναι και

Από την συνθήκη καθετότητας παίρνουμε $4-x^2=4x^2-k^2\Leftrightarrow k^2=5 x^2-4$ .

Ακόμη στα ορθ. και έχουμε $AN=\sqrt{x^2-1}$ και $BN=\sqrt{k^2-1}=\sqrt{5x^2-5}$

άρα $AN+BN=AB=2\Rightarrow \sqrt{x^2-1}+\sqrt{5\left ( x^2-1 \right )}=2$ έπεται $\sqrt{x^2-1}=\dfrac{1}{\Phi }\Leftrightarrow x^2=1+\dfrac{1}{\Phi ^2}$

Βρίσκουμε $AD^2=4x^2=4+\dfrac{4}{\Phi ^2}=EZ^2$ (*) , άρα . Τα ορθογώνια και είναι ίσα συνεπώς

$tan\theta =tan\omega =\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}=\Phi$ .

(*) Η πρόσθετη κατασκευή κρίνεται (με δεύτερη ματιά) μη απαραίτητη

αφού στο ορθ. προκύπτει $AH^2=4/\Phi^2$ επομένως $tan\theta =\dfrac{2}{2/\Phi }=\Phi$

$\Phi$ ιλικά, Γιώργος.

Καλησπέρα Γιώργο . Εφαγα αρκετή ώρα , αλλά δεν τα κατάφερα , να την κάνω αναγωγή στο ωραίο σου σχήμα που έχεις για εικόνα και σε χαρακτηρίζει!

Καλή σου νύκτα .

Ώρα εφαπτομένης 136

Ώρα εφαπτομένης 136

Re: Ώρα εφαπτομένης 136

Re: Ώρα εφαπτομένης 136

Re: Ώρα εφαπτομένης 136

Re: Ώρα εφαπτομένης 136

Re: Ώρα εφαπτομένης 136

Μέλη σε σύνδεση