Τετραγωνομετρία

KARKAR · #1

: Τετραγωνομετρία.png (6.48 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

Στην πλευρά

του - πλευράς

- τετραγώνου ABCD

κινείται σημείο

. Χωρίζουμε

το τμήμα

, σε δύο τμήματα με λόγο : AP : PS=2:1

και φέρουμε κάθετη στο

,

η οποία τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος

,

καθώς και το τμήμα

, κατά την στιγμή της ελαχιστοποίησης .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 19, 2023 12:05 pm Τετραγωνομετρία.pngΣτην πλευρά του - πλευράς - τετραγώνου κινείται σημείο . Χωρίζουμε

το τμήμα , σε δύο τμήματα με λόγο : και φέρουμε κάθετη στο ,

η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος ,

καθώς και το τμήμα , κατά την στιγμή της ελαχιστοποίησης .

: Τετραγωνομετρία.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 1102 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 19, 2023 12:05 pm Τετραγωνομετρία.pngΣτην πλευρά του - πλευράς - τετραγώνου κινείται σημείο . Χωρίζουμε

το τμήμα , σε δύο τμήματα με λόγο : και φέρουμε κάθετη στο ,

η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος ,

καθώς και το τμήμα , κατά την στιγμή της ελαχιστοποίησης .

Τελικά βρήκα Γεωμετρική λύση.

Φέρνω ευθεία παράλληλη στην

που διέρχεται από το

και τέμνει τις AB, CD

στα

αντίστοιχα και έστω CS=y.

: Τετραγωνομετρία.ΙΙ.png (10.19 KiB) Προβλήθηκε 1065 φορές

Είναι $\displaystyle PF = \frac{{2(a - y)}}{3},PE = \frac{{\frac{{2ay}}{3} + a\frac{a}{3}}}{a} = \frac{{a + 2y}}{3}$ και από την ομοιότητα των τριγώνων AFP, TEP

έχω

$\displaystyle 2aTE = 3PE \cdot PF \Leftrightarrow TE = \frac{1}{{3a}}\left( { - 2{y^2} + ay + {a^2}} \right) \Leftrightarrow DT = \frac{1}{{3a}}\left( {2{y^2} - ay + {a^2}} \right),$

που ως τριώνυμο έχει για $\boxed{y = \frac{a}{4}}$ ελάχιστο ίσο με $\boxed{D{T_{\min }} = \frac{{7a}}{{24}}}$

Για $y=\dfrac{a}{4},$ είναι $\displaystyle TE = \frac{{3a}}{8},PE = \frac{a}{2}$ και με Π. Θ $\boxed{TP = \frac{{5a}}{8}}$

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Απρ 19, 2023 12:05 pm Τετραγωνομετρία.pngΣτην πλευρά του - πλευράς - τετραγώνου κινείται σημείο . Χωρίζουμε

το τμήμα , σε δύο τμήματα με λόγο : και φέρουμε κάθετη στο ,

η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο . Υπολογίστε το ελάχιστο του τμήματος ,

καθώς και το τμήμα , κατά την στιγμή της ελαχιστοποίησης .

Ανάλυση .
Κατά την κίνηση του

το σημείο

διαγράφει σταθερή ευθεία $\delta$ κάθετη στην

.

Το τετράπλευρο PTDA

είναι εγγράψιμο σε μεταβλητό κύκλο αλλά κέντρου

σταθερής οριζόντιας ευθείας $\varepsilon$ (μεσοκάθετη του

) .

: Τετραγωνομετρία_Ανάλυση.png (18.69 KiB) Προβλήθηκε 1060 φορές

Το

, γίνεται ελάχιστο όταν το

ανήκει στη διασταύρωση των $\delta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon$

Θα κάνω σε λίγο και τους υπολογισμούς.

Ας είναι $a = 12k\,\,,\,\,k > 0$ . Από την ομοιότητα των $\vartriangle ZTP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EPA$ έχω:

$\dfrac{{TZ}}{{PE}} = \dfrac{{ZP}}{{AE}} \Rightarrow \dfrac{{8k - x}}{{6k}} = \dfrac{{6k}}{{8k}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{8k - x}}{{3k}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{7k}}{2}}$ .

: Τετραγωνομετρία_κατασκευή υπολογισμός.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 1046 φορές

Τώρα θα είναι: $TZ = 8k - \dfrac{{7k}}{2} = \dfrac{{9k}}{2}$ οπότε από το Π. Θ. στο $\vartriangle ZPT$ προκύπτει :

$\boxed{y = \sqrt {36{k^2} + \dfrac{{81{k^2}}}{4}} = \dfrac{{15k}}{2}}$

nickchalkida · #5

Ειναι $DT_{min} = TE_{max}$ και αυτό επιτυγχάνεται όταν

μέσον του

.
(Το αφήνω χωρίς αιτιολογία ή χρησιμοποιώντας μαθηματική ορολογία, ... προφανές).
Τότε από την ομοιότητα των PET

,

θα είναι:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \dfrac{TE_{max}}{\dfrac{a}{2}} = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{2a}{3}} \rightarrow TE_{max} = \dfrac{3a}{8} \cr & DT_{min} = \dfrac{2a}{3} - \dfrac{3a}{8} = \dfrac{7a}{24} \ \ \ \& \ \ \ TP^2 =(\dfrac{3a}{8})^2 + (\dfrac{a}{2})^2 = \dfrac{25a^2}{64} \cr \end{aligned} }$

#6

george visvikis έγραψε: Τετ Απρ 19, 2023 1:06 pm
Έχω λύση με Αναλυτική. Αν δεν βρω κάτι άλλο, θα τη γράψω.

Από περιέργεια και μόνο, αναρωτιέμαι αν η λύση του Γιώργου ήταν η παρακάτω:

: 21-04-2023 Γεωμετρία.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Έστω

. Παίρνουμε A(0,0), B(1, 0), C(1,1), D(0,1), S(1, t), 0<t<1

, οπότε $\displaystyle P\left( {\frac{2}{3},\;\frac{{2t}}{3}} \right)$

$\displaystyle {\lambda _{AS}} = t,\;\;PT \bot AS\;\;\; \Rightarrow \;\;{\lambda _{PT}} = - \frac{1}{t}$ , άρα $\displaystyle PT:\;\;y - \frac{{2t}}{3} = - \frac{1}{t}\left( {x - \frac{2}{3}} \right)$

Έτσι $\displaystyle T\left( {\frac{{2{t^2} - 3t + 2}}{3},1} \right)$ και $\displaystyle DT = \frac{{2{t^2} - 3t + 2}}{3}$ , που παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\displaystyle t = \frac{3}{4}$ .

Οπότε $\displaystyle D{T_{\min }} = \frac{{7a}}{{24}}$ και $\displaystyle T{P_{\min }} = \frac{{5a}}{8}$ .

#7

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Σάβ Απρ 22, 2023 7:01 pm
george visvikis έγραψε: Τετ Απρ 19, 2023 1:06 pm
Έχω λύση με Αναλυτική. Αν δεν βρω κάτι άλλο, θα τη γράψω.
Από περιέργεια και μόνο, αναρωτιέμαι αν η λύση του Γιώργου ήταν η παρακάτω:

21-04-2023 Γεωμετρία.png

Έστω . Παίρνουμε , οπότε $\displaystyle P\left( {\frac{2}{3},\;\frac{{2t}}{3}} \right)$

$\displaystyle {\lambda _{AS}} = t,\;\;PT \bot AS\;\;\; \Rightarrow \;\;{\lambda _{PT}} = - \frac{1}{t}$ , άρα $\displaystyle PT:\;\;y - \frac{{2t}}{3} = - \frac{1}{t}\left( {x - \frac{2}{3}} \right)$

Έτσι $\displaystyle T\left( {\frac{{2{t^2} - 3t + 2}}{3},1} \right)$ και $\displaystyle DT = \frac{{2{t^2} - 3t + 2}}{3}$ , που παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\displaystyle t = \frac{3}{4}$ .

Οπότε $\displaystyle D{T_{\min }} = \frac{{7a}}{{24}}$ και $\displaystyle T{P_{\min }} = \frac{{5a}}{8}$ .

Έτσι όπως τα λες είναι Γιώργο

μόνο που αντί για

είχα βάλει

και είχα καταλήξει σε $\displaystyle DT = \frac{1}{{3a}}\left( {2{t^2} - 3at + 2{a^2}} \right)$

Τετραγωνομετρία

Τετραγωνομετρία

Re: Τετραγωνομετρία

Re: Τετραγωνομετρία

Re: Τετραγωνομετρία

Re: Τετραγωνομετρία

Re: Τετραγωνομετρία

Re: Τετραγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση