Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

#1

Με αφορμή αυτήν.

Αν I, G

είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα, τριγώνου ABC

με περίμετρο

και ακτίνες

r, R

εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι $\displaystyle I{G^2} = \frac{1}{9}\left( {{s ^2} + 5{r^2} - 16Rr} \right)$

ΥΓ. Λύση χωρίς σχήμα δεν γίνεται δεκτή

#2

Επαναφορά με υπόδειξη:

Αποδείξτε ότι $\displaystyle A{I^2} = \frac{{(s - a)bc}}{s}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

george visvikis έγραψε: Δευ Σεπ 18, 2023 7:08 pm Με αφορμή αυτήν.

Αν είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα, τριγώνου με περίμετρο και ακτίνες

εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι $\displaystyle I{G^2} = \frac{1}{9}\left( {{s ^2} + 5{r^2} - 16Rr} \right)$

ΥΓ. Λύση χωρίς σχήμα δεν γίνεται δεκτή

Έστω

Είναι, $IM^2=r^2+\dfrac{(b-c)^2}{4}$ και έχει αποδειχθεί (#3) ότι $AI^2=\dfrac{(s-a)bc}{s}.$

Είναι ακόμα $\displaystyle {r^2} = \frac{{{E^2}}}{{{s^2}}} = \frac{{(s - a)(s - b)(s - c)}}{s} = \frac{{{s^3} - (a + b + c){s^2} + (ab + bc + ca)s - abc}}{s}$

$\displaystyle {r^2} = - {s^2} + ab + bc + ca - \frac{{abc}}{s}$ κι επειδή $\displaystyle sr = E = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow$ $\boxed{ ab+bc+ca=r^2+s^2+4Rr}$ (1)

: Απόσταση έγκεντρου βαρύκεντρου.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 3345 φορές

Εφαρμόζω το θεώρημα $\rm Stewart$ στο τρίγωνο AIM:

$\displaystyle \frac{{(s - a)bc}}{s} \cdot \frac{1}{3}m + \left( {{r^2} + \frac{{{{(b - c)}^2}}}{4}} \right)\frac{2}{3}m = I{G^2} \cdot m + \frac{2}{9}{m^3} \Leftrightarrow$

$\displaystyle I{G^2} = \frac{{bc}}{3} - \frac{{4Rr}}{3} + \frac{{2{r^2}}}{3} + \frac{{{{(b - c)}^2}}}{6} - \frac{2}{9} \cdot \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} \Leftrightarrow$

$\displaystyle I{G^2} = \frac{{2{r^2}}}{3} - \frac{{4Rr}}{3} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{18}} = \frac{{2{r^2}}}{3} - \frac{{4Rr}}{3} + \frac{{2{s^2}}}{9} - \frac{{ab + bc + ca}}{9}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$

$\displaystyle I{G^2} = \frac{{6{r^2} - 12Rr - {r^2} - {s^2} - 4Rr}}{9} \Leftrightarrow$ $\boxed{ I{G^2} = \frac{1}{9}\left( {{s ^2} + 5{r^2} - 16Rr} \right)}$

Έχω και λύση με Leibniz. Θα επανέλθω εκτός κι αν τη γράψει κάποιος άλλος.

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

#6

orestisgotsis έγραψε: Σάβ Νοέμ 25, 2023 10:55 am
george visvikis έγραψε: Δευ Σεπ 18, 2023 7:08 pm Με αφορμή αυτήν.

Αν είναι το έγκεντρο και το βαρύκεντρο αντίστοιχα, τριγώνου με περίμετρο και ακτίνες

εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου, να δείξετε ότι $\displaystyle I{G^2} = \frac{1}{9}\left( {{s ^2} + 5{r^2} - 16Rr} \right)$

ΥΓ. Λύση χωρίς σχήμα δεν γίνεται δεκτή

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Υποθέτω ότι ο τύπος του Leibniz: $I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}=3I{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}$

θα δίνει το αποτέλεσμα.

Ναι, μόνο που αντί για GA^2+GB^2+GC^2,

γράφω $\displaystyle \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + {c^2}).$ Αυτή είναι και η αρχική μου λύση.

Το αποτέλεσμα, βέβαια, δεν προκύπτει άμεσα. Θέλει κάποια δουλειά.

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

#8

Δεν έγραψα λύση στην άσκηση γιατί την γνώριζα ήδη από παλιά, και έτσι περίμενα να την χαρούν άλλοι. Από την αρχή, όμως, ήθελα να κάνω το παρακάτω ιστορικό σχόλιο που το φύλαγα μέχρι να ολοκληρωθεί η λύση, που μάλλον άργησε. Τώρα έφτασε ή ώρα.

Ο πρώτος που βρήκε την απόσταση

ήταν ο Euler στην εργασία του E325 του 1767 με τίτλο Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum, βλέπε

εδώ

ή αλλιώς στο σημείο

εδώ

όπου ανοίγει αυτόματα.

Όταν ανοίξετε την εργασία E325, δείτε την σελίδα 112.

Δυστυχώς η εργασία Ε325 δεν έχει μεταφραστεί ακόμα από τα Λατινικά, αλλά βγάζει κανείς άκρη. Ένα σημείο που πρέπει να προσεχθεί είναι ότι τα $I,\, G, \, H, \, O$ δεν είχαν ακόμη τα σύμβολα που χρησιμοποιύμε σήμερα αλλά ο Euler χρησιμοποίησε στην θέση τους τα

για το κέντρο βάρους (σε εμάς γνωστό ως

),

για το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου (σε εμάς γνωστό ως

),

για το κέντρο του εγραμμένου κύκλου (σε εμάς γνωστό ως

),

για τοορθόκεντρο (σε εμάς γνωστό ως

),

Δηλαδή θέλετε την (κατά Euler) απόσταση

.

Ας προσθέσω ότι η εν λόγω εργασία Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum έχουμε και την πρώτη εμφάνιση της ευθείας Euler. H απόδειξη είναι πολύ περίεργη: Ο Euler βρήκε τις αποστάσεις μεταξύ όλων των ζευγών των σημείων (με δικά μας σύμβολα) $I,\, G, \, H, \, O$ . Εκεί παρατήρησε ότι HG+GO=GO

, και άρα τα H,G,O

είναι συνευθειακά.

Η παραπομπή που δίνω είναι στο Euler Archive, ένα τεράστιο αρχείο με (σχεδόν) όλες τις εργασίες του Euler. Θέλει κανείς μερικά χρόνια για να τις διαβάσει όλες.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Νοέμ 25, 2023 9:37 pm H απόδειξη είναι πολύ περίεργη: Ο Euler βρήκε τις αποστάσεις μεταξύ όλων των ζευγών των σημείων (με δικά μας σύμβολα) $I,\, G, \, H, \, O$ . Εκεί παρατήρησε ότι , και άρα τα είναι συνευθειακά.

Είναι (σε ισοδύναμη μορφή) περίπου στην μέση της σελίδας 114

όπου γράφει "punctum ita in recta producta..."

#10

Πολύ ενδιαφέρουσες παραπομπές Μιχάλη.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1: Ο $\rm Euler$ , με τους συμβολισμούς a+b+c=p, ab+bc+ac=q, abc=r, (ABC)=A,

δίνει τους τύπους: $\displaystyle O{I^2} = \frac{{{r^2}}}{{16{A^2}}} - \frac{r}{p},I{G^2} = - \frac{1}{9}{p^2} + \frac{5}{9}q - \frac{{2r}}{p}$ που σημαίνει ότι η εμπλοκή των ακτίνων σε

αυτούς τους τύπους είναι μεταγενέστερη.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2: Υπάρχει ένας κατ' επιλογήν συμβολισμός του τετραγώνου. Για την ακρίβεια στους παραπάνω τύπους τα

τετράγωνα $\displaystyle {r^2},{A^2},{p^2},$ αντικαθίστανται με rr, AA, pp

αντίστοιχα.

#11

george visvikis έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 9:19 am Πολύ ενδιαφέρουσες παραπομπές Μιχάλη.

Γιώργο, να 'σαι καλά.

Την εν λόγω εργασία του Euler την είχα μελετήσει προσεκτικά. Συγκεκριμένα, θα θυμάσαι ότι είχα ασχοληθεί με την ιστορία του Ορθοκέντρου που εκείνη την εποχή, από την Αναγέννηση και πέρα, το θεώρημα ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν είχε "χαθεί" από την Γεωμετρία (ήταν γνωστό την αρχαιότητα αλλά σώζεται μόνο σε έμμεσες αναφορές). Όμως παρατήρησα ότι ο Euler το χρησιμοποιεί ως δεδομένο το 1767 στην εν λόγω εργασία, χωρίς παραπομπή, που σημαίνει ότι το θεωρούσε κοινή γνώση.
Ο κανόνας είναι ότι το θεώρημα της σύγκλισης των υψών σπάνια εμφανιζόταν στις Γεωμετρίες πριν από το 1800 ενώ από εκεί και πέρα, εμφανίζεται σε όλες. Επίσης βρέθηκαν και πάμπολλες αποδείξεις του θεωρήματος. Όλες οι αποδείξεις που κυκλοφορούν σήμερα (και στο εδώ φόρουμ όπου υπάρχει εκτενές θρεντ που τις βαφτίζει "πρωτοεμφανιζόμενες") είναι εκείνης της εποχής.

.

george visvikis έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 9:19 am Υπάρχει ένας κατ' επιλογήν συμβολισμός του τετραγώνου. Για την ακρίβεια στους παραπάνω τύπους τα
τετράγωνα $\displaystyle {r^2},{A^2},{p^2},$ αντικαθίστανται με αντίστοιχα.

.
Σωστά. Εκείνη την εποχή, και ήδη από τους Descartes και Viete, τα τετράγωνα και οι κύβοι είχαν συχνά την μορφή $xx, \, xxx$ . Η πρακτική αυτή διατηρήθηκε για αρκετά χρόνια αργότερα. Δεν ξέρω γιατί το προτιμούσαν έναντι του απλούστερου $x^2, \, x^3$ .

#12

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 10:13 am
george visvikis έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 9:19 am Πολύ ενδιαφέρουσες παραπομπές Μιχάλη.
Γιώργο, να 'σαι καλά.

Την εν λόγω εργασία του Euler την είχα μελετήσει προσεκτικά. Συγκεκριμένα, θα θυμάσαι ότι είχα ασχοληθεί με την ιστορία του Ορθοκέντρου που εκείνη την εποχή, από την Αναγέννηση και πέρα, το θεώρημα ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν είχε "χαθεί" από την Γεωμετρία (ήταν γνωστό την αρχαιότητα αλλά σώζεται μόνο σε έμμεσες αναφορές). Όμως παρατήρησα ότι ο Euler το χρησιμοποιεί ως δεδομένο το 1767 στην εν λόγω εργασία, χωρίς παραπομπή, που σημαίνει ότι το θεωρούσε κοινή γνώση.
Ο κανόνας είναι ότι το θεώρημα της σύγκλισης των υψών σπάνια εμφανιζόταν στις Γεωμετρίες πριν από το 1800 ενώ από εκεί και πέρα, εμφανίζεται σε όλες. Επίσης βρέθηκαν και πάμπολλες αποδείξεις του θεωρήματος. Όλες οι αποδείξεις που κυκλοφορούν σήμερα (και στο εδώ φόρουμ όπου υπάρχει εκτενές θρεντ που τις βαφτίζει "πρωτοεμφανιζόμενες") είναι εκείνης της εποχής.

.
george visvikis έγραψε: Κυρ Νοέμ 26, 2023 9:19 am Υπάρχει ένας κατ' επιλογήν συμβολισμός του τετραγώνου. Για την ακρίβεια στους παραπάνω τύπους τα
τετράγωνα $\displaystyle {r^2},{A^2},{p^2},$ αντικαθίστανται με αντίστοιχα.
.
Σωστά. Εκείνη την εποχή, και ήδη από τους Descartes και Viete, τα τετράγωνα και οι κύβοι είχαν συχνά την μορφή $xx, \, xxx$ . Η πρακτική αυτή διατηρήθηκε για αρκετά χρόνια αργότερα. Δεν ξέρω γιατί το προτιμούσαν έναντι του απλούστερου $x^2, \, x^3$ .

Μιχάλη, είσαι θησαυρός!!! Διαθέτεις ένα τεράστιο γνωστικό επίπεδο. Δεν είναι υπερβολή να πω ότι δεν έχω
συναντήσει στη ζωή μου άνθρωπο με τόσες μαθηματικές αλλά και εγκυκλοπαιδικές γνώσεις της ιστορίας των
μαθηματικών και όχι μόνο. Να είσαι πάντα καλά!!!

Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Re: Απόσταση έγκεντρου-βαρύκεντρου

Μέλη σε σύνδεση