Λόγος ακριβής και ρητός

KARKAR · #1

: Λόγος ακριβής και ρητός.png (29.83 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

Τα

είναι εφαπτόμενα τμήματα και το

η τομή της τέμνουσας

( μήκους

) , με την χορδή

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{TS}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 04, 2024 8:31 am Λόγος ακριβής και ρητός.pngΤα είναι εφαπτόμενα τμήματα και το η τομή της τέμνουσας

( μήκους ) , με την χορδή . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{TS}$ .

Με δεδομένα τα $SO=s, \, SP=p, \, OA=OP=r$ θα δούμε, γενικότερα, ότι ο ζητούμενος λόγος είναι πάντα ρητός αν τα s,p,r

είναι ρητά (όπως εδώ).

Επειδή $\dfrac{PT}{TS} = \dfrac{p- TS}{TS}$ , αρκεί να δείξουμε ότι

ρητός. Στην πραγματικότητα η άσκηση ζητά να βρούμε το

συναρτήσει των s,p,r

ενώ τα περί ρητότητας είναι δευτερο πλάνο.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο OAS

έχουμε $SK= \dfrac {SA^2}{SO}= \dfrac {s^2-r^2}{s}$ . Από τον Νόμο των συνημιτόνων στο OSP

έχουμε $\cos \theta = \dfrac {p^2+s^2-r^2}{2ps}$ . Τέλος

$ST = \dfrac {SK}{\cos \theta } = \dfrac {s^2-r^2}{s} \cdot \dfrac {2ps}{p^2+s^2-r^2}$ ίσον ρητός. Και λοιπά. Ο ακριβής ρητός αριθμός είναι άμεσος (αν έκανα σωστά τις πράξεις, ο αρχικός ζητούμενος λόγος είναι 5/14

)
.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 04, 2024 8:31 am Λόγος ακριβής και ρητός.pngΤα είναι εφαπτόμενα τμήματα και το η τομή της τέμνουσας

( μήκους ) , με την χορδή . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{TS}$ .

$\displaystyle 100 - 16 = S{A^2} = SN \cdot SP = 12SN \Leftrightarrow SN = 7$ και PN=5.

θέτω

και έχω $\displaystyle x(5 - x) = 16 - O{T^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{OT^2=x^2-5x+16}$ (1)

: Λόγος ακριβής και ρητός.png (14.67 KiB) Προβλήθηκε 777 φορές

Εύκολα βρίσκω ότι $\displaystyle OD = \frac{8}{5},DS = \frac{{42}}{5}$ και από κριτήριο καθετότητας είναι

$\displaystyle S{T^2} - O{T^2} = D{S^2} - O{D^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} {(12 - x)^2} - {x^2} + 5x - 16 = 10 \cdot \frac{{34}}{5} \Leftrightarrow x = \frac{{60}}{{19}}$

Επομένως, $\boxed{\frac{{PT}}{{TS}} = \frac{{60}}{{168}} = \frac{5}{{14}}}$

KARKAR · #4

: Λόγος ακριβής και ρητός.png (29.83 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Φανερά είναι : $SN=7 , NP=5 , ( 6\cdot 14=7\cdot 12 )$ . Συνεπώς :

$\dfrac{PN}{NS}=\dfrac{5}{7}=2\cdot\dfrac{5}{14}=2\cdot\dfrac{PT}{TS}$ ( θέμα κάποιου διαγωνισμού ) .

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 04, 2024 8:31 am Λόγος ακριβής και ρητός.pngΤα είναι εφαπτόμενα τμήματα και το η τομή της τέμνουσας

( μήκους ) , με την χορδή . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PT}{TS}$ .

Το τετράπλευρο είναι Αρμονικό και άρα η

είναι συμμετροδιάμεσός του τριγώνου PBA

και η τετράδα : $\left( {P,C\backslash T,S} \right)\,$ είναι αρμονική.

Ετσι ταυτόχρονα θα έχω : $\left\{ \begin{gathered} PT + TC + SC = 12 \hfill \\ S{B^2} = SC \cdot SP \hfill \\ \frac{{TC}}{{TP}} = \frac{{SC}}{{SP}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + y + z = 12 \hfill \\ 100 - 16 = z \cdot 12 \hfill \\ \frac{y}{x} = \frac{z}{{12}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Η δεύτερη δίδει : $\boxed{z = 7}$ οπότε έχω

: Λόγος ακριβής και ρητός.png (23.08 KiB) Προβλήθηκε 735 φορές

$\left\{ \begin{gathered} x + y = 5 \hfill \\ 7x = 12y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{60}}{{19}} \hfill \\ y = \frac{{35}}{{19}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , οπότε : $\boxed{\dfrac{{TP}}{{TS}} = \dfrac{x}{{y + z}} = \dfrac{{\dfrac{{60}}{{19}}}}{{7 + \dfrac{{35}}{{19}}}} = \dfrac{5}{{14}}}$

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιαν 04, 2024 6:14 pm $\dfrac{PN}{NS}=\dfrac{5}{7}=2\cdot\dfrac{5}{14}=2\cdot\dfrac{PT}{TS}$ ( θέμα κάποιου διαγωνισμού ) .

Πράγματι, αυτό ισχύει γενικά (όχι μόνο με τα δεδομένα νούμερα). Με τον συμβολισμό στο ποστ #2 έχουμε, μετά από κάποιες πράξεις ρουτίνας, ότι

$\displaystyle{ \dfrac{PT}{TS} = \dfrac{p^2-s^2+r^2}{2(s^2-r^2)}}$ . Επίσης

$\displaystyle{SN = \dfrac {SA^2}{SP} = \dfrac {s^2-r^2}{p}}$ , οπότε

$\dfrac{PN}{NS}= \dfrac{p-SN}{NS}= \dfrac{p - \dfrac {s^2-r^2}{p} }{\dfrac {s^2-r^2}{p}} =\dfrac{p^2-s^2+r^2}{s^2-r^2}$

από όπου η ζητούμενη στον εν λόγω διαγωνισμό.

Λόγος ακριβής και ρητός

Λόγος ακριβής και ρητός

Re: Λόγος ακριβής και ρητός

Re: Λόγος ακριβής και ρητός

Re: Λόγος ακριβής και ρητός

Re: Λόγος ακριβής και ρητός

Re: Λόγος ακριβής και ρητός

Μέλη σε σύνδεση