Τριώνυμο από τριχοτόμηση

sakis1963 · #1

: 2024.04.13 mathematica.jpg (38.75 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

Οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, διαιρούν την υποτείνουσα σε τμήματα, κατά σειρά m, x, n

Δείξτε ότι: x²+x(m+n)-2mn=0

S.E.Louridas · #2

sakis1963 έγραψε: Δευ Απρ 22, 2024 8:01 pm Οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, διαιρούν την υποτείνουσα σε τμήματα, κατά σειρά
Δείξτε ότι:

Είναι καθαρό ότι: $\displaystyle{BE = EH,\;\angle ZEH = {60^ \circ },\;CD = R.}$

Οπότε αρκεί ισοδυνάμως να αποδείξουμε οτι $\displaystyle{\frac{{EZ}}{{BE}} = \frac{{ZC}}{R} \Leftrightarrow \frac{{EZ}}{{HE}} = \frac{{ZC}}{{DC}},}$

που ισχύει από την ομοιότητα των τριγώνων HEZ, DCZ.

: kia.png (63.85 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές

#3

sakis1963 έγραψε: Δευ Απρ 22, 2024 8:01 pm 2024.04.13 mathematica.jpg

Οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, διαιρούν την υποτείνουσα σε τμήματα, κατά σειρά

Δείξτε ότι:

Λόγω των διχοτόμων AE, AZ

είναι:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{E^2} = cAZ - mx \hfill \\ A{Z^2} = bAE - nx \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{cAZ + bAE = A{E^2} + A{Z^2} + (m + n)x}$ (1)

: Τριώνυμο από τριχοτόμηση.png (12.89 KiB) Προβλήθηκε 767 φορές

Νόμος συνημιτόνων στα τρίγωνα ABZ, AEC:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {(m + x)^2} = {c^2} + A{Z^2} - cAZ \hfill \\ {(n + x)^2} = {b^2} + A{E^2} - bAE \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {(m + x)^2} + {(n + x)^2} = {a^2} - (m + n)x$

$\displaystyle 2{x^2} + {m^2} + {n^2} + 2mx + 2nx = {(m + x + n)^2} - (m + n)x \Leftrightarrow$ $\boxed{x^2+(m+n)x-2mn=0}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

sakis1963 έγραψε: Δευ Απρ 22, 2024 8:01 pm 2024.04.13 mathematica.jpg

Οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, διαιρούν την υποτείνουσα σε τμήματα, κατά σειρά

Δείξτε ότι:

Το θ.εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ABE

δίνει

$\dfrac{c}{AE}= \dfrac{m}{x} \Rightarrow \dfrac{c}{ \dfrac{AE}{2} }= \dfrac{2m}{x} \Rightarrow \dfrac{c}{PA}= \dfrac{2m}{x}$

$PE//AC \Rightarrow \dfrac{c}{PA}= \dfrac{m+x+n}{n}= \dfrac{2m}{x} \Rightarrow x^2+x(m+n)-2mn=0$

: τριώνυμο από τριχοτόμηση.png (12.96 KiB) Προβλήθηκε 715 φορές

Τριώνυμο από τριχοτόμηση

Τριώνυμο από τριχοτόμηση

Re: Τριώνυμο από τριχοτόμηση

Re: Τριώνυμο από τριχοτόμηση

Re: Τριώνυμο από τριχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση