Καθετότητα και διχοτόμηση

#1

Έστω ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο , $ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$ . Ας είναι

το μέσο της

και

της

με , $CD = 2DA\,.$

Αν οι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$ τέμνονται στο

να δείξετε ότι : $AS \bot SC$ και η

διχοτόμος του $\vartriangle SCA$ .

( Με αφορμή το θέμα «Από το σφηνάκι» αλλά να αντιμετωπισθεί ως ανεξάρτητο θέμα )

Το έβαλα σε φάκελο που να είναι δεκτές όλες οι λύσεις

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: Παρ Οκτ 04, 2024 8:25 pm Έστω ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο , $ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$ . Ας είναι το μέσο της και της με , $CD = 2DA\,.$

Αν οι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$ τέμνονται στο να δείξετε ότι : $AS \bot SC$ και η διχοτόμος του $\vartriangle SCA$ .

( Με αφορμή το θέμα «Από το σφηνάκι» αλλά να αντιμετωπισθεί ως ανεξάρτητο θέμα )

Το έβαλα σε φάκελο που να είναι δεκτές όλες οι λύσεις

Σχηματίζουμε το τετράγωνο ABEC

πλευράς

κι έστω $EB \cap CM=P$ ,οπότε

APBC

παραλ/μμο άρα PB=AC=BE=b

Οι

συγκλίνουν στο

.Από θ.κ.δέσμης $\dfrac{PB}{BN}= \dfrac{CD}{DA}=2 \Rightarrow PB=2BN \Rightarrow BE=2BN$

Τότε όμως $BN=AM=\dfrac{b}{2}$ και AB=AC=b

άρα $\triangle ABN=\triangle AMC$ οπότε AN=CM

και $AN \bot MC$

Τώρα από το εγγράψιμμο APBS

είναι $\angle ASD= \angle P=45^0 \Rightarrow SD$ διχοτόμος της $\angle ASC$

: καθετότητα και διχοτόμηση.png (26.47 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

#3

Doloros έγραψε: Παρ Οκτ 04, 2024 8:25 pm Έστω ορθογώνιο κι ισοσκελές τρίγωνο , $ABC\,\,\left( {AB = AC} \right)$ . Ας είναι το μέσο της και της με , $CD = 2DA\,.$

Αν οι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM$ τέμνονται στο να δείξετε ότι : $AS \bot SC$ και η διχοτόμος του $\vartriangle SCA$ .

( Με αφορμή το θέμα «Από το σφηνάκι» αλλά να αντιμετωπισθεί ως ανεξάρτητο θέμα )

Το έβαλα σε φάκελο που να είναι δεκτές όλες οι λύσεις

$\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{2},\tan \omega = \frac{1}{3} \Rightarrow \theta + \omega = 45^\circ,$ οπότε $\displaystyle C\widehat BD = \theta ,M\widehat CB = \omega.$

: Καθετότητα και διχοτόμηση.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

Προφανώς η

εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του SBC,

άρα $\displaystyle A{M^2} = M{B^2} = MS \cdot MC,$

που σημαίνει ότι το

είναι το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου MAC

και κατά συνέπεια $M\widehat AS=\theta.$

Επομένως, $\displaystyle A\widehat SD = \theta + \omega = 45^\circ=D\widehat SC.$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ!
Ας είναι

το μέσον του

. Τότε $ME=\parallel AD/2$ . Παίρνουμε $\dfrac{CS}{SM}=\dfrac{DC}{ME}=\dfrac{DC}{AD/2}=4$ άρα CS=4MS

: 7-10 Καθετότητα Ν.Φ.png (247.85 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

Θεωρώ , χωρίς βλάβη, ME=1

οπότε

και με το Π.Θ MC^2=45

Έχουμε

ενώ και

.

Τα πρώτα μέλη αυτών είναι ίσα και με το κριτήριο καθετότητας προκύπτει $AS \perp MC$

Ακόμη $\dfrac{AS}{SC}=tanC=\dfrac{1}{2}=\dfrac{AD}{DC}$ συνεπώς η

είναι διχοτόμος της $A \hat S C$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Καθετότητα και διχοτόμηση

Καθετότητα και διχοτόμηση

Re: Καθετότητα και διχοτόμηση

Re: Καθετότητα και διχοτόμηση

Re: Καθετότητα και διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση