Πολύπλοκη ισότητα

[KARKAR]

Πολύπλοκη ισότητα .png (7.19 KiB) Προβλήθηκε 444 φορές

Σε σημείο της βάσης τριγώνου , για το οποίο είναι : , υψώνουμε

κάθετη , η οποία τέμνει την στο . Επί του , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Πώς θα ορίσουμε σημεία των αντίστοιχα , ώστε τα

να είναι συνευθειακά και το να είναι το μέσο του τμήματος ;

[Mihalis_Lambrou]

Σε σημείο της βάσης τριγώνου , για το οποίο είναι : , υψώνουμε

κάθετη , η οποία τέμνει την στο . Επί του , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

. Πώς θα ορίσουμε σημεία των αντίστοιχα , ώστε τα

να είναι συνευθειακά και το να είναι το μέσο του τμήματος ;

Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα γενικότερα, όπου δίνεται τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Άλλωστε πρόκειται για γνωστό και παλιό θέμα:

Φέρνουμε την και την επεκτείνουμε μέχρι το έτσι ώστε το να είναι το μέσον του . Από το φέρνουμε παράλληλες προς τις πλευρές Οι παράλληλες αυτές τέμνουν τις πλευρές στα ζητούμενα σημεία . Βασικά πρόκειται για την ιδιότητα των παραλληλογράμμων στα οποία, ως γνωστόν, οι διαγώνιες διχοτομούνται.

[KARKAR]

Πολύπλοκη ισότητα .png (16.59 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές

Το σχήμα της λύσης . Επιπλέον ερώτημα : Βρείτε το "ύψος" του , συναρτήσει του .

[abgd]

Το σκέφτηκα λίγο διαφορετικά από το Μιχάλη, στην περίπτωση που τυχαία σημεία των και .
Αν προεκτείνουμε κατά και από το φέρουμε παράλληλη στην , αυτή τέμνει την στο . Φέρνουμε τώρα την η οποία τέμνει την στο .
Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε

pol.is..png (29.06 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

[abgd]

pol.is.2.png (33.74 KiB) Προβλήθηκε 400 φορές

Στην περίπτωση που βρίσκουμε τη σχέση του "ύψους" με το ύψος του τριγώνου ως εξής:

Από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε ότι οπότε

Από την ομοιότητα των τριγώνων με λόγο θα είναι

[KARKAR]

Το ακριβές σχήμα της λύσης , που εν τέλει προκύπτει από την ομοιότητα των τριγώνων : .

Πολύπλοκη πρόσθετο.png (13.22 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές