Ανεπίσημοι κύκλοι

[KARKAR]

Ανεπίσημοι κύκλοι.png (33.6 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Το είναι σταθερό της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , ενώ το κινείται

στην . Οι προεκτεινόμενες τέμνονται στο . Γράφω τους κύκλους :

και , οι οποίοι τέμνονται στο σημείο . α) Δείξτε ότι .

β) Βρείτε εκείνο το σημείο , για το οποίο ελαχιστοποιείται η διάκεντρος .

[rek2]

Το πρώτο είναι απλό, γιατί, για παράδειγμα η γωνία είναι ίση με το άθροισμα των οξειων γωνιών του τριγώνου .

Οι μεσοκάθετοι των , επί των οποίων κινούνται τα αντίστοιχα, είναι σταθερές, επομένως η ελάχιστη τιμή του είναι ίση με την απόσταση των δύο αυτών παράλληλων μεσοκάθετων, το οποίο συμβαίνει μόνο όταν η είναι κάθετη στην κ.λπ.

[Doloros]

Ανεπίσημοι κύκλοι.pngΤο είναι σταθερό της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , ενώ το κινείται

στην . Οι προεκτεινόμενες τέμνονται στο . Γράφω τους κύκλους :

και , οι οποίοι τέμνονται στο σημείο . α) Δείξτε ότι .

β) Βρείτε εκείνο το σημείο , για το οποίο ελαχιστοποιείται η διάκεντρος .

Κάτι παρόμοιο με τον Κ. Ρεκούμη ( αλλά όχι τόσο απλό κι ωραίο).

α) Ας είναι το άλλο σημείο τομής της με το κύκλο .

Διαδοχικά έχω : ( Το εγγεγραμμένο ) , ( Το εγγεγραμμένο ) , , (Βαίνουν στο ίδιο τόξο).

Ανεπίσημοι κύκλοι_a.png (50.95 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές

Άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο με συνέπεια το είναι ορθογώνιο τρίγωνο .

Επειδή οι οξείες γωνίες του είναι : Στο ίση με την και στο ίση με , θα είναι και το ορθογώνιο στο .

Ανεπίσημοι κύκλοι_b.png (30.73 KiB) Προβλήθηκε 356 φορές

β) είναι όμοια . Η προβολή της στην είναι πάντα πιο μικρή ή ίση προς την .

Το ίσον ισχύει όταν η και θα είναι τότε : που είναι ελάχιστο της . Δηλαδή .