Από το τριπλάσιο στο ίσο

KARKAR · #1

: Από το τριπλάσιο στο ίσο.png (15.66 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

Από σημείο

, εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων (O,r)

και

, φέρω τα "πάνω" εφαπτόμενα

τμήματα

και

αντίστοιχα .Υπολογίστε το τμήμα

, για το οποίο είναι : (AOS)=(BAS)

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 30, 2025 10:20 am Από το τριπλάσιο στο ίσο.pngΑπό σημείο , εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων και , φέρω τα "πάνω" εφαπτόμενα

τμήματα και αντίστοιχα .Υπολογίστε το τμήμα , για το οποίο είναι : .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 30, 2025 10:20 am Από το τριπλάσιο στο ίσο.pngΑπό σημείο , εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων και , φέρω τα "πάνω" εφαπτόμενα

τμήματα και αντίστοιχα .Υπολογίστε το τμήμα , για το οποίο είναι : .

.
Θέτουμε OS=s

. Aφού

, σημαίνει ότι τα τρίγωνα αυτά έχουν ίσα ύψη, εδώ BT=OA=R

και άρα τα ορθογώνια τρίγωνα OAU, UBT

είναι ίσα. 'Επεται $AT=2AU= 2\sqrt {OU^2-OA^2}= 2\sqrt { (\dfrac {3R}{2})-R^2}=R\sqrt 5$ .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο BTS

έχουμε

, οπότε $TS=\sqrt {s^2-10R^2}$ .

Άρα $AS= AT+TS= R\sqrt 5+\sqrt {s^2-10R^2}$ . Αλλά το ίδιο αυτό μήκος από το ορθογώνιο τρίγωνο OAS

ισούται $\sqrt {s^2-R^2}$ , δηλαδή (εξισώνοντας)

$R\sqrt 5+\sqrt {s^2-10R^2}= \sqrt {s^2-R^2}$ .

Λύνοντας την εξίσωση αυτή θα βρούμε $\boxed {s= \dfrac {3}{5} \sqrt {30} R}$ (όσο βρήκε ο Μιχάλης στο προηγούμενο ποστ).
.

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 30, 2025 10:20 am Από το τριπλάσιο στο ίσο.pngΑπό σημείο , εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων και , φέρω τα "πάνω" εφαπτόμενα

τμήματα και αντίστοιχα .Υπολογίστε το τμήμα , για το οποίο είναι : .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ την μικρή ακτίνα,

και τη μεγάλη

.

Ας είναι

το σημείο τομής του μεγάλου κύκλου με την

.

Αν η από το

παράλληλη στην

κόψει την ευθεία

στο

θα είναι , $\left( {OAS} \right) = \left( {MAS} \right) = \left( {ABS} \right)$ .

Θεωρώ και την εφαπτομένη του μεγάλου κύκλου , στο σημείο τομής του,

, με την

.

Αν προεκτείνω την

προς το

θα συναντήσει την προαναφερόμενη εφαπτομένη στο

.

: Απο το τριπλάσιο στο ίσο.png (42.8 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Προφανώς : CD = DB = BS = y

, θέτω δε το TS = x

. Θα ισχύουν ταυτόχρονα :

$M{B^2} = 9 - 4 = 5\,\,,\,\,MB = \dfrac{{CD + AS}}{2} \Rightarrow 2\sqrt 5 = \sqrt {x\left( {x + 6} \right)} + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} - 1}$ απ’ όπου , $\boxed{x = \frac{{3\sqrt {30} }}{5} - 3 \Rightarrow OS = \frac{{3\sqrt {30} }}{5}}$

Γενικά , $\boxed{OS = \frac{{3r\sqrt {30} }}{5}}$

: Απο το τριπλάσιο στο ίσο_ok.png (27.66 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 30, 2025 10:20 am Από το τριπλάσιο στο ίσο.pngΑπό σημείο , εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων και , φέρω τα "πάνω" εφαπτόμενα

τμήματα και αντίστοιχα .Υπολογίστε το τμήμα , για το οποίο είναι : .

$(AOS)=(ABS) \Rightarrow OM=MB= \dfrac{3r}{2}$ και με Π.Θ στο $\triangle OAM \Rightarrow AM= \dfrac{r \sqrt{5} }{2}$

Τώρα, εύκολα από AM.MS=OM.MB

παίρνουμε $MS= \dfrac{9r \sqrt{5} }{10} \Rightarrow AS= \dfrac{14r \sqrt{5} }{10}$

Τέλος,το Π.Θ στο $\triangle AOS$ δίνει $OS=3r \sqrt{ \dfrac{6}{5} }$

: από το τριπλάσιο στο ίσο.png (18.9 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές

Από το τριπλάσιο στο ίσο

Από το τριπλάσιο στο ίσο

Re: Από το τριπλάσιο στο ίσο

Re: Από το τριπλάσιο στο ίσο

Re: Από το τριπλάσιο στο ίσο

Re: Από το τριπλάσιο στο ίσο

Μέλη σε σύνδεση