Στελθ

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17981
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Στελθ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Στελθ.png
Στελθ.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές, με : AB= AC = b , BC=a . Στην AB και στην προέκταση

της AC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , έτσι ώστε : BP = CQ . Η PQ τέμνει την BC στο T .

Η κάθετη της PQ στο T τέμνει την προέκταση της διαμέσου AM στο S . Υπολογίστε το τμήμα MS .
Ετικέτες:
ισοσκελές
προέκταση
τμήμα
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
duamba
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τρί Μάιος 24, 2022 7:53 pm
Επικοινωνία:
Επικοινωνία duamba

Re: Στελθ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από duamba »

Με αναλυτική γεωμετρία, αξονα τετμημένων το BC και αρχη το M.
stel8.png
stel8.png (286.2 KiB) Προβλήθηκε 1041 φορές
Οι συντεταγμενες του P ειναι (-\frac{a}{2}+t, u) και του Q ειναι (\frac{a}{2}+t, -u).

'Ετσι εχω για εξισωση της PQ την y-u = \frac{-2u}{a}(x+\frac{a}{2}-t).

Λυνοντας για y=0 βρισκω τις συντεταγμενες του T που ειναι (t, 0).

Η κλιση της ST ειναι \frac{-1}{\frac{-2u}{a}} και αρα η εξισωση της ST ειναι: y = \frac{a}{2u}(x-t).

Για x=0 βρισκω οτι y = -\frac{at}{2u}.

Όμως επειδή ειναι ABM \sim PBV ισχύει οτι \frac{t}{u} = \frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}}

και αρα \boxed{MS = \frac{a^2}{4\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}}}

* Ευχαριστώ τον KARKAR για πολύτιμη διόρθωση στο αποτέλεμα
Τελευταία επεξεργασία από το μέλος duamba την Τετ Ιουν 25, 2025 12:50 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Κορυφή
abgd
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Τετ Ιαν 23, 2013 11:49 pm

Re: Στελθ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από abgd »

Stelth.png
Stelth.png (64.61 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

Από το σημείο Q φέρουμε παράλληλο στην AB η οποία τέμνει την προέκταση της BC στο D.

Το τρίγωνο CQD είναι ισοσκελές, (απόδειξη με τη βοήθεια των γωνιών), και συνεπώς το τετράπλευρο PDQB είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, δηλαδή το σημείο T είναι το μέσο του PQ και η ST μεσοκάθετός του.

SC=SB και SP=SQ οπότε τα τρίγωνα SBP, SCQ είναι ίσα και έτσι οι γωνίες \phi είναι ορθές.

Άρα τα σημεία A,B,S,C είναι ομοκυκλικά και θα είναι: x\cdot AM=MB\cdot MC\Leftrightarrow \boxed{x=\dfrac{a^2}{2\sqrt{4b^2-a^2}}}
\mathbb{K}_{ostas}\sum{}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Στελθ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi »

Διαφορετικά.
Επειδή στο APQ η BTC είναι διατέμνουσα
PB\cdot TQ\cdot CA=BA\cdot CQ\cdot TP
δηλ. TP=TQ
Το S εντοπίζεται ως το σημείο τομής της διχοτόμου της \angle PAQ με τη μεσοκάθετο του PQ
Από θεώρημα νότιου πόλου APSQ εγγράψιμο.
δηλ. \angle TSQ=90^{\circ}-\angle PQS=90^{\circ}-\angle PAS όσο η \angle ΤCΑ
Οπότε STCQ εγγράψιμο οπότε \angle SCQ ορθή
δηλ. \displaystyle x=\frac{b^{2}}{AM}-AM=\frac{a^{2}}{2\sqrt{4b^{2}-a^{2}}}
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Στελθ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi »

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 24, 2025 3:23 am Στελθ.pngΤο τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές, με : AB= AC = b , BC=a . Στην AB και στην προέκταση

της AC , θεωρούμε σημεία P ,Q αντίστοιχα , έτσι ώστε : BP = CQ . Η PQ τέμνει την BC στο T .

Η κάθετη της PQ στο T τέμνει την προέκταση της διαμέσου AM στο S . Υπολογίστε το τμήμα MS .
Να την κάνουμε πιο ποιητική. :) Το συμμετρικό X του Q ως προς το C ικανοποιεί APX\sim ACB οπότε PX//CB οπότε επειδή C μέσο του XQ, το T μέσο του PQ οπότε το S εντοπίζεται ως η τομή της διχοτόμου της \angle PAQ με τη μεσοκάθετο του PQ.
Στελθ.png
Στελθ.png (724.06 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές
Από θεώρημα νότιου πόλου APSQ εγγραψιμο. Αν η κάθετη από το B στην AB τέμνει την κάθετη από το C στην AC στο Y τότε ο κύκλος (ABC) διέρχεται από το Y και A,M,Y συνευθειακα . Τα ορθογώνια τρίγωνα YBP,YCQ είναι ίσα οπότε YP=YQ και \angle YPB=\angle YQA οπότε το Y ανήκει στον κύκλο (APQ).
Αν T' η προβολή του Y στην PQ από θεώρημα Simpson B,T',C συνευθειακα οπότε T',T συμπίπτουν οπότε Y,S συμπίπτουν.
Οπότε \displaystyle x=\frac{MB\cdot MC}{MA}.
Στελθ.png
Στελθ.png (724.06 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 1 επισκέπτης