Τμήματα κύκλων

KARKAR · #1

: Τμήματα κύκλων.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

Στον κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ , 135^0

, η ακτίνα

είναι οριζόντια , ενώ το

είναι ο βόρειος πόλος .

Από σημείο

του τόξου , το οποίο κινείται μεταξύ των

και

φέρουμε παράλληλη προς την

,

η οποία τέμνει την

στο

. Θεωρούμε σημείο

της

, τέτοιο ώστε OP=OT

. Βρείτε

τον γεωμετρικό τόπο του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 09, 2025 6:55 am Στον κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ , , η ακτίνα είναι οριζόντια , ενώ το είναι ο βόρειος πόλος .

Από σημείο του τόξου , το οποίο κινείται μεταξύ των και φέρουμε παράλληλη προς την ,

η οποία τέμνει την στο . Θεωρούμε σημείο της , τέτοιο ώστε . Βρείτε

τον γεωμετρικό τόπο του σημείου .

.
H άσκηση γενικεύεται με οποιαδήποτε αμβλεία γωνία στην θέση των 135^ ο

, αλλά θα την κρατήσω ως έχει γιατί η ουσία δεν αλλάζει.

Έστω ότι ο κύκλος έχει ακτίνα

. Τότε οι συντεταγμένες του

είναι

με

και $\boxed {a^2+b^2=R^2}$ .

H

ως παράλληλη της y=-x

και επειδή διέρχεται από το S(a,b)

είναι η

. Θέτοντας y=0

, βρίσκουμε ότι T(a+b,0)

.

Το

βρίσκεται στην

και στον κύκλο κέντρου

και ακτίνας OT=a+b

. Άρα ικανοποιοεί τις $y= \dfrac {b}{a}x$ και x^2+y^2=(a+b)^2

. Λύνοντας θα βρούμε

$χ= \dfrac {(a+b)a}{\sqrt {a^2+b^2}}=\dfrac {(a+b)a}{R}, \, y= \dfrac {(a+b)b}{\sqrt {a^2+b^2}}=\dfrac {(a+b)b}{R}, \, (*)$

Άρα

$x^2+y^2= \dfrac {(a+b)^2(a^2+b^2)}{R^2}}= (a+b)^2= a(a+b)+b(a+b) = ^{(*)}xR+yR$

Συνεπώς ο ζητούμενος τόπος είναι ο κύκλος με εξίσωση x^2+y^2-xR-yR=0

, ισοδύναμα

$\boxed {\left ( x- \dfrac {R}{2} \right ) ^2 + \left ( y- \dfrac {R}{2} \right ) ^2 =\left ( \dfrac {R\sqrt 2}{2} \right ) ^2}$ .

Aκριβέστερα, o τόπος είναι το μέρος του παραπάνω κύκλου που βρίσκεται μέσα στον δοθέντα, και μόνο στο δεύτερο τεταρτημόριο, δηλαδή το τόξο OPN

.
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

.

Τμήματα κύκλων

Τμήματα κύκλων

Re: Τμήματα κύκλων

Μέλη σε σύνδεση