Παρά-λογος

KARKAR · #1

: Παρά-λογος.png (30.16 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

Στο μικρό τόξο $\overset{\frown}{BC}$ του περικύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, εντοπίστε σημείο

τέτοιο

ώστε : SC=2SB

και αν η

τέμνει την

στο σημείο

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TS}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 13, 2025 7:40 am Παρά-λογος.pngΣτο μικρό τόξο $\overset{\frown}{BC}$ του περικύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο τέτοιο

ώστε : και αν η τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TS}$ .

: παρα-λογο.png (24.42 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

.
Επειδή η

είναι διχοτόμος της $\widehat {S}$ (βλέπουμε εκεί δύο γωνίες των 60^o

) είναι $\dfrac{TB}{TC}= \dfrac{SB}{SC} = \dfrac{1}{2}$ . Οπότε το

χωρίζει το

σε λόγο

. Βρίσκουμε λοιπόν αυτό το

, συγκεκριμένα παίρνουμε $BT=\dfrac{a}{3}, \, TC=\dfrac{2a}{3}$ . Κατόπιν φέρνουμε την

, που τέμνει τον κύκλο στο ζητούμενο σημείο

.

Τώρα, από τον Νόμο των συνημιτόνων στο ATC

έχουμε $AT^2= a^2+ \left ( \dfrac {2a}{3} \right ) ^2 - 2a\cdot \dfrac {2a}{3} \cos 60= \dfrac {7a^2}{9}$

Οπότε με χρήση της δύναμης του σημείου

έχουμε

$\dfrac{AT}{TS} = \dfrac{AT^2}{AT\cdot TS} = \dfrac{AT^2}{BT\cdot TC} =\dfrac { \dfrac {7a^2}{9}}{ \dfrac {a}{3} \cdot \dfrac {2a}{3}}= \dfrac {7}{2}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 13, 2025 7:40 am Παρά-λογος.pngΣτο μικρό τόξο $\overset{\frown}{BC}$ του περικύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο τέτοιο

ώστε : και αν η τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TS}$ .

Μόνο για το β) ερώτημα

έστω ότι AB=MB=a,TC=2BT

Αρα το σημείο

είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου AMC

Οπότε

$MC=a\sqrt{3},4a^{2}+a^{2}=2AE^{2}+\dfrac{3a^{2}}{2}\Leftrightarrow AE=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}, AT=\dfrac{2}{3}AE,ST.AT=\dfrac{2a^{2}}{9},\Rightarrow ST=\dfrac{2a}{3\sqrt{7}},AT=\dfrac{a\sqrt{7}}{3}, \dfrac{AT}{TS}=\dfrac{7}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 13, 2025 7:40 am Παρά-λογος.pngΣτο μικρό τόξο $\overset{\frown}{BC}$ του περικύκλου του ισοπλεύρου τριγώνου , εντοπίστε σημείο τέτοιο

ώστε : και αν η τέμνει την στο σημείο , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TS}$ .

a)Επειδή $\angle ABS+ \angle ACS=180^0 \Rightarrow \dfrac{(ACS)}{(ABS)} = \dfrac{CT}{TB}= \dfrac{a.2x}{a.x} =2 \Rightarrow BT= \dfrac{a}{3}$

Η τομή της

με τον κύκλο προσδιορίζει τη θέση του

b)Είναι γνωστό ότι AS=AT+TS=BS+SC=3BS

άρα $\dfrac{AT}{TS}+1=3 \dfrac{BS}{TS} (1)$

Επειδή

είναι εξωτερική διχοτόμος της γωνίας CSy

,αν

είναι διχοτόμος της γωνίας TSB

θα είναι $\dfrac{BS}{ST}= \dfrac{BD}{DT} = \dfrac{CB}{CT}= \dfrac{3}{2}$

Εύκολα τώρα από την $(1) \Rightarrow \dfrac{AT}{TS} = \dfrac{7}{2}$

: Παρά-λογος.png (34.75 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Παρά-λογος

Παρά-λογος

Re: Παρά-λογος

Re: Παρά-λογος

Re: Παρά-λογος

Μέλη σε σύνδεση