Απίθανη ισότητα

KARKAR · #1

: Απίθανη ισότητα.png (19.18 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές

Πάνω στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ , τριγώνου ABC , (AB<AC)

, θεωρούμε σημείο

,

τέτοιο ώστε : $AS=\sqrt{bc}$ . Η ευθεία η οποία διέρχεται από το

και το μέσο

της

,

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Δείξτε ότι : TS=TC

.

Dimessi · #2

: Απίθανη;;;.png (57.1 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

$\bullet$ Έστω $D \equiv AS \cap BC.$
Από
$\displaystyle \left.\begin{matrix} \displaystyle \frac{AS}{AB}=\frac{AC}{AS} & \\\angle BAS\overset{\left ( \alpha \pi o \delta \iota \chi o\tau o\mu o \right )}=\angle CAS & \\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow \vartriangle BAS \sim \vartriangle CAS\Rightarrow \boxed{\angle ACS=\angle ASB}(\ast).$

Αφού

$\displaystyle\vartriangle BAS \sim \vartriangle CAS \Rightarrow \frac{SB}{SC}=\frac{AS}{AC}=\sqrt{\frac{c}{b}}\overset{\Theta .\delta \iota \chi o\tau o\mu o\upsilon \vartriangle CBA}=\sqrt{\frac{DB}{DC}},$

άρα η ευθεία

είναι συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle SBC$ και άρα $\angle MSC=\angle DSB\equiv \angle ASB\overset{(\ast)}=\angle ACS\Rightarrow \boxed{TS=TC}.$

: Απίθανη;;;.png (57.1 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

abgd · #3

: isotita.png (39.92 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

Μια διαφορετική προσέγγιση χρησιμοποιώντας όμοια τρίγωνα...

Είναι $\displaystyle{SA=\sqrt{bc}\Rightarrow \dfrac{SA}{AB}=\dfrac{AC}{SA}=\lambda}$ . Έτσι τα τρίγωνα $\displaystyle{SAB, \ \ CAS}$ θα είναι όμοια,

αφού έχουν δυο πλευρές τους ανάλογες και τις περιεχόμενες αυτών των πλευρών γωνίες ίσες.

Συνεπώς θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, (βλ. σχήμα), και $\displaystyle{ \dfrac{SC}{SB}=\lambda}$ .

Έστω τώρα $\displaystyle{K}$ μέσο του $\displaystyle{SC}$ οπότε $\displaystyle{MK//SB}$ και

$\displaystyle{\dfrac{CK}{SC}=\dfrac{MK}{SB}\Rightarrow \dfrac{SK}{MK}=\dfrac{SC}{SB}=\lambda= \dfrac{AC}{SA}\Rightarrow \dfrac{SK}{CA}=\dfrac{MK}{SA}}$ . Έτσι τα τρίγωνα $\displaystyle{SKM, \ \ CAS}$ είναι όμοια,

αφού έχουν δυο πλευρές τους ανάλογες και τις περιεχόμενες αυτών των πλευρών γωνίες ίσες.

Συνεπώς οι γωνίες τους $\displaystyle{MSK, \ \ ACS}$ θα είναι ίσες και έτσι το τρίγωνο $\displaystyle{STC}$ ισοσκελές. Άρα $\displaystyle{ST=CT}$

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 29, 2025 12:46 pm Απίθανη ισότητα.pngΠάνω στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$ , τριγώνου , θεωρούμε σημείο ,

τέτοιο ώστε : $AS=\sqrt{bc}$ . Η ευθεία η οποία διέρχεται από το και το μέσο της ,

τέμνει την πλευρά στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Εστω ότι

$\hat{DAB}=\hat{DAC}=\omega$

Από νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα

$ASB,ASC,BS^{2}=c^{2}+AS^{2}-2c.AS.cos\omega ,(1), SC^{2} =AS^{2}+b^{2}-2b.AS.cos\omega ,(2), (1) \Leftrightarrow 2cAS.cos\omega =c^{2}+AS^{2}+b^{2}-SB^{2}, (2) \Leftrightarrow 2bAS.cos\omega =AS^{2}+b^{2}-SC^{2}$ και με διαίρεση

$\dfrac{SC^{2}}{BS^{2}}=\dfrac{b}{c},(*),$

H τελευταία σχέση δείχνει ότι

είναι η συμμετροδιάμεσος στο τρίγωνο SBC

Οπότε $\hat{BSD}=\hat{MSD}=\nu ,\hat{ASG}=\hat{GST}=\varrho$

$AS^{2}=AB.AC\Leftrightarrow \dfrac{AS}{AB}=\dfrac{AC}{AS},\hat{BAS}=\hat{SAC}$ αρα τα τρίγωνα

BAS,CAS

είναι όμοια και $\hat{TCS}=\hat{TSC}$

Απίθανη ισότητα

Απίθανη ισότητα

Re: Απίθανη ισότητα

Re: Απίθανη ισότητα

Re: Απίθανη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση