Από διάμεσο και έγκυκλο προκύπτει ισοτομία

giannimani · #1

Δίνεται ένα τρίγωνο ABC

, και ας είναι

το μέσο της πλευράς

, και $\gamma$ ο εγγεγραμμένος κύκλος του.
Η διάμεσος

τέμνει τον κύκλο $\gamma$ σε δύο σημεία

και

. Οι ευθείες που διέρχονται από τα

και

, και είναι παράλληλες της

, τέμνουν για δεύτερη φορά τον κύκλο $\gamma$ στα σημεία

και

αντίστοιχα.
Οι ευθείες

και

τέμνουν τη

στα σημεία

και

. Να αποδείξετε ότι BP = CQ

.

: med_inc.png (30.17 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές

Dimessi · #2

: Συμμετρία και αρμονικότητα.png (63.28 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

Επειδή $KX \parallel LY,$ το τετράπλευρο KXLY

είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε οι $XY,KL \equiv AM$ τέμνονται επί της κοινής μεσοκαθέτου των YL,XK.

Επειδή όμως IK=IX

λόγω του κύκλου (I)

και $KX \parallel BC \perp DI,$ άρα η μεσοκάθετη του

είναι η ευθεία DI.

Όμως, ως γνωστόν, οι ευθείες DI,AM,FE

συντρέχουν κι αφού και οι ευθείες $DI,XY,KL\equiv AM$ συντρέχουν, άρα και οι τέσσερις ευθείες $DI \cap AM \cap FE \cap XY \equiv W.$ Τώρα, από $KX \parallel LY$ έχουμε $\displaystyle \frac{LY}{KX}=\frac{WL}{WK}\left ( \ast \right ),$ και αφού η ευθεία

διέρχεται από τον πόλο της

ως προς τον κύκλο (I),

άρα το τετράπλευρο KFLE

είναι αρμονικό, οπότε και η σημειοσειρά (A,K,W,L)

είναι αρμονική και συνεπώς $\displaystyle \frac{WL}{WK}=\frac{AL}{AK}\overset{\left ( \ast \right )}\Rightarrow \frac{LY}{KX}=\frac{AL}{AK}\left ( 1 \right ).$ Με $LY \parallel KX \parallel BC,$ έχουμε $\displaystyle \left.\begin{matrix} \displaystyle\frac{MQ}{KX} =\frac{AM}{AK}& \\ \displaystyle \frac{LY}{MP}=\frac{AL}{AM} & \\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow \frac{MQ}{MP}=\frac{AL}{AK}\cdot \frac{KX}{LY}\overset{\left ( 1 \right )}=1,$

οπότε MQ=MP.

Σε συνδυασμό με MB=MC,

έχουμε και BP=CQ.

: Συμμετρία και αρμονικότητα.png (63.28 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

Από διάμεσο και έγκυκλο προκύπτει ισοτομία

Από διάμεσο και έγκυκλο προκύπτει ισοτομία

Re: Από διάμεσο και έγκυκλο προκύπτει ισοτομία

Μέλη σε σύνδεση