Απρόσμενη σταθερότητα

KARKAR · #1

: Απρόσμενη σταθερότητα.png (18.32 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές

Από το σημείο

εσωτερικό του κύκλου (O,3)

, για το οποίο είναι OS=2

, διέρχεται μεταβλητή

χορδή

. Οι εφαπτόμενες στα

A , B ,

τέμνονται στο

. Ονομάζω

Q , T ,

τις προβολές του

στις

, αντίστοιχα . Αν :

SQ=a , ST=b

, υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $\dfrac{a+b}{ab}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 8:50 am Απρόσμενη σταθερότητα.pngΑπό το σημείο εσωτερικό του κύκλου , για το οποίο είναι , διέρχεται μεταβλητή

χορδή . Οι εφαπτόμενες στα $A , B ,$ τέμνονται στο . Ονομάζω $Q , T ,$ τις προβολές του

στις , αντίστοιχα . Αν : $SQ=a , ST=b$ , υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $\dfrac{a+b}{ab}$ .

: απρόσμ.png (35.06 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

.
Φέρνουμε $OM\perp AB$ . Αφού

\widehat {O}= \widehat {A}

, τα τρίγωνα

OAM, AQS

είναι όμοια. Άρα

\dfrac {a} {AS}=\dfrac {AM} {OA}= \dfrac {AB/2} {3}

, Οπότε

\dfrac {1} {a}=\dfrac {6} {AB\cdot AS}

Όμοια

\dfrac {1} {b}=\dfrac {6} {AB\cdot SB}

, οπότε

\dfrac{a+b}{ab}= \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}= \dfrac {6} {AB\cdot AS}+ \dfrac {6} {AB\cdot SB}= \dfrac {6(AS+SB)} {AB\cdot AS\cdot SB}=

=\dfrac {6AB }{AB\cdot AS\cdot SB}= \dfrac {6} {AS\cdot SB}

, που από δύναμη σημείου ισούται με

\dfrac {6} {CS\cdot SD} = \dfrac {6} {5\cdot 1} = \boxed {\dfrac {6}{5}}

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 8:50 am Απρόσμενη σταθερότητα.pngΑπό το σημείο εσωτερικό του κύκλου , για το οποίο είναι , διέρχεται μεταβλητή

χορδή . Οι εφαπτόμενες στα $A , B ,$ τέμνονται στο . Ονομάζω $Q , T ,$ τις προβολές του

στις , αντίστοιχα . Αν : $SQ=a , ST=b$ , υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $\dfrac{a+b}{ab}$ .

Από την ομοιότητα των

\vartriangle QAS

και $\vartriangle TBS$ ισχύει ,

\dfrac{a}{{SA}} = \dfrac{b}{{SB}} = \dfrac{{a + b}}{{AB}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\dfrac{{ab}}{{SA \cdot SB}} = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{A{B^2}}}

επειδή

από τη δύναμη του

ισχύει ,

SA \cdot SB = {3^2} - {2^2} = 5

, από τις δύο προηγούμενες σχέσεις προκύπτει :

\dfrac{{a + b}}{{ab}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{5\left( {a + b} \right)}}\,\,\left( 1 \right)

: Απρόσμενη σταθερότητα_1.png (25.14 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές

Από το ορθογώνιο $\vartriangle BAF$ ,

A{B^2} = AF \cdot AH\,\,\,\left( 2 \right)

, ενώ από την ομοιότητα του ιδίου τριγώνου με καθένα από τα ,

\vartriangle QAS\,\,,\,\,\vartriangle BTS

έχω,

\dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{a}{{SA}} = \dfrac{b}{{SB}} = \dfrac{{a + b}}{{AB}} \Rightarrow AH = a + b\,\,\left( 3 \right)

κι έτσι ή $\left( 1 \right)$ λόγω των $\left( 2 \right)\,\,,\,\,\left( 3 \right)$ δίδει:

\boxed{\dfrac{{a + b}}{{ab}} = \dfrac{6}{5}}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 8:50 am Απρόσμενη σταθερότητα.pngΑπό το σημείο εσωτερικό του κύκλου , για το οποίο είναι , διέρχεται μεταβλητή

χορδή . Οι εφαπτόμενες στα $A , B ,$ τέμνονται στο . Ονομάζω $Q , T ,$ τις προβολές του

στις , αντίστοιχα . Αν : $SQ=a , ST=b$ , υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $\dfrac{a+b}{ab}$ .

Στο ισοσκελές τρίγωνο APB

(AP=PB) είναι γνωστό ότι ισχύει

BK=AL=a+b

Αν

και

τότε

SQ//BK \Rightarrow \dfrac{a}{a+b}= \dfrac{x}{x+y}

ST//AL \Rightarrow \dfrac{b}{a+b} = \dfrac{y}{x+y}

και με διαίρεση

\dfrac{a}{b}= \dfrac{x}{y} (1)

Επιπλέον

xy=CS.SD=5 (2)

κι από

εύκολα παίρνουμε

x= \sqrt{ \dfrac{5a}{b} }

και

y= \sqrt{ \dfrac{5b}{a} }

Προφανώς

\triangle AOE \simeq \triangle BST

.Άρα

\dfrac{y}{3}= \dfrac{b}{AE} = \dfrac{b}{ \dfrac{x+y}{2} } \Leftrightarrow 6b=y(x+y)

Με αντικατάσταση των x,y

κι απλές πράξεις παίρνουμε

\dfrac{a+b}{ab}= \dfrac{6}{5}

: Απρόσμενη σταθερότητα.png (52.49 KiB) Προβλήθηκε 71 φορές

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 23, 2026 8:50 am Απρόσμενη σταθερότητα.pngΑπό το σημείο εσωτερικό του κύκλου , για το οποίο είναι , διέρχεται μεταβλητή

χορδή . Οι εφαπτόμενες στα $A , B ,$ τέμνονται στο . Ονομάζω $Q , T ,$ τις προβολές του

στις , αντίστοιχα . Αν : $SQ=a , ST=b$ , υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $\dfrac{a+b}{ab}$ .

OA\perp AP,SQ\perp AP\Rightarrow OA//SQ,ST//AP

Απο τα όμοια τρίγωνα

OAM,ASQ,x^{2}=3a,(3), (2) ,(3)\Rightarrow y=\dfrac{5\sqrt{3a}}{3a},b=\dfrac{5}{3}

Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα

ASQ,STB\Rightarrow \dfrac{x}{y}=\dfrac{a}{b},(1)

Εστω

AS=x,SB=y,\hat{OAS}=\phi =\hat{ASQ}=\hat{OBA}=\hat{BST}

Απο

Stweart,OAB,x.y=5,(2)

OAM,ASQ,x^{2}=3a,y=\dfrac{5\sqrt{3a}}{3a},b=\dfrac{5}{3}

Από τα όμοια τρίγωνα

OMB,SBT,a=\dfrac{5}{3},\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{6}{5}

Απρόσμενη σταθερότητα

Απρόσμενη σταθερότητα

Re: Απρόσμενη σταθερότητα

Re: Απρόσμενη σταθερότητα

Re: Απρόσμενη σταθερότητα

Re: Απρόσμενη σταθερότητα

Μέλη σε σύνδεση