Ασύμμετρη αναλογία

KARKAR · #1

: Ασσύμετρη αναλογία.png (9.55 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την πλευρά

του ορθογωνίου

τραπεζίου ABCD

, στα σημεία S , P

. Υπολογίστε τον λόγο :

\dfrac{DS}{PC}

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 8:33 am Ασσύμετρη αναλογία.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την πλευρά του ορθογωνίου

τραπεζίου , στα σημεία . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{PC}$ .

: ασύμ.png (9.17 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

.
Ακόμη καλύτερα μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες των ίδιων των S,P

και άρα τα ίδια τα

DS,PC

.

Εδώ με αρχή των αξόνων το κέντρο του ημικυκλίου, είναι

A(-4,0), B(4,0), C(4,4), D(-4,3)

. Οπότε ο κύκλος είναι ο x^2+y^2=4^2

και η ευθεία

είναι η

y=\dfrac {1}{8}(x+4)+3

. Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε

S\left (-\dfrac {12}{5},\dfrac {16}{5} \right ), P\left (\dfrac {20}{13} ,\dfrac {48}{13} \right )

, άρα

\boxed {DS= \dfrac {\sqrt {65}}{5} , \, PC= \dfrac {4\sqrt {65}}{13}}

.

Έπεται

\dfrac{DS}{PC}= \dfrac {13}{20}

Άσκηση άνευ φαντασίας. Θα αναρτήσω όμως και Γεωμετρική λύση, απλά για να υπάρχει.

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 8:33 am Ασσύμετρη αναλογία.pngΤο ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την πλευρά του ορθογωνίου

τραπεζίου , στα σημεία . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{DS}{PC}$ .

: ασύμ 2.png (16.39 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές

.
Από την δύναμη του σημείου

έχουμε

a(a+x)=DS\cdot DP=DA^2=9

και όμοια

b(b+x)=16

. Επίσης από το ορθογώνιο τρίγωνο DEC

έχουμε

a+x+b=DC= \sqrt {8^2+1^2}=\sqrt {65}

Λύνουμε τώρα το σύστημα των τριών εξισώσεων. Συγκεκριμένα, από τις δύο πρώτες ως δευτεροβάθμιες θα βρούμε

a= \dfrac {1}{2} (-x+\sqrt {x^2+36}) , \, b= \dfrac {1}{2} (-x+\sqrt {x^2+64})

(κράτησα τις θετικές). Με αντικατάσταση στην τρίτη θα βρούμε

\sqrt {x^2+36} + \sqrt {x^2+64} = 2 \sqrt {65}

από όπου

x= \dfrac {32\sqrt {65}}{65}

, οπότε αμέσως

a= \dfrac {\sqrt {65}}{5}, \, b= \dfrac {4\sqrt {65}}{13}

, άρα

\dfrac {a}{b}= \dfrac {13}{20}

Ασύμμετρη αναλογία

Ασύμμετρη αναλογία

Re: Ασύμμετρη αναλογία

Re: Ασύμμετρη αναλογία

Μέλη σε σύνδεση