Προοδευτικό τρίγωνο vs Feuerbach

[sakis1963]

GEOMETRIA196=FB1781.png (31.04 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Εστω το ορθόκεντρο τριγώνου , το μέσον του ελλάσονος τόξου του περίκυκλου και το μέσον του .

Δείξτε οτι το είναι το σημείο του , τότε και μόνο τότε αν,

[Al.Koutsouridis]

GEOMETRIA196=FB1781.png
Εστω το ορθόκεντρο τριγώνου , το μέσον του ελλάσονος τόξου του περίκυκλου και το μέσον του .

Δείξτε οτι το είναι το σημείο του , τότε και μόνο τότε αν,

Μια κατασκευαστική προσπάθεια...

Θα χρησιμοποιήσουμε ως λήμματα τα παρακάτω κριτήρια για να είναι ένα τρίγωνο "αριθμητικά προοδευτικό" ( ). Νομίζω έχει ξαναεμφανιστεί στο . Αν όχι θα το θέσω ως άσκηση αργότερα μαζί με άλλα δυο κριτήρια.

Λήμμα 1: Ένα τρίγωνο είναι αριθμητικά προοδευτικό αν και μόνο αν, το μέσο μιας πλευράς του και η βάση του ύψους που άγεται στην ίδια πλευρά, είναι συμμετρικά ως προς το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου σε αυτή την πλευρά.

Λήμμα 2: 'Ενα τρίγωνο είναι αριθμητικά προοδευτικό αν και μόνο αν, η πλευρά διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα το έγκεντρό του και το σημείο τομής της διχοτόμου από το με τον περιγεγραμμένο κύκλο του.

καθώς και την πρόταση

Λήμμα 3: Σε ένα αριθμητικά προοδευτικό τρίγωνο το έκγκεντρο, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του, τα μέσα των πλευρών και η κορυφή είναι ομοκυκλικά.

Στο πρόβλημά μας τώρα...

feuerbach_vs_arithmetic_mean.png (46.63 KiB) Προβλήθηκε 776 φορές

Έστω τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα και το μέσο του τμήματος , άρα και του τμήματος . Και αφού μέσο του , θα είναι , που συνεπάγεται και .

Όμως και , όπου το κέντρο του κύκλου του Euler. Επομένως τα σημεία είναι συνευθειακά και βρίσκονται στην μεσοπαράλληλο των ευθειών ( η βάση του ύψους από την κορυφή ).

Αν τώρα είναι το σημείο Feuerbach του τριγώνου, τότε και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του θα ανήκει στην μεσοπαράλληλο ευθεία . Αυτή η ευθεία είναι κάθετη στην πλευρά , οπότε και το σημείο της επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου θα ανήκει σε αυτή. Άρα τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς το και σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα το τρίγωνο θα είναι αριθμητικά προοδευτικό.

Αντίστροφα.

Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα και είναι ομοιόθετα με κέντρο ομοιθεσίας το και λόγο . Άρα θα είναι και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι τους. Τότε το ομόλογο σημείο του στον περιγεγραμμένο κύκλο του , έστω , θα είναι τέτοιο ώστε . Δηλαδή ο κύκλος αυτός ταυτίζεται με τον κύκλο Euler του τριγώνου .

Από το λήμμα 3 έχουμε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Μάλιστα ο κύκλος που ορίζουν είναι ομοιόθετος με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου με κέντρο το σημείο και λόγο . Αρα θα είναι ίσος με τον κύκλο Euler του και εφόσον κοινή χορδή τους, και μέσο του , θα είναι . Λόγω της παραπάνω ομοιθεσίας έχουμε επίσης . Όπου το σημείο τομής της διχοτόμου με τον περιγεγραμμένο κύκλο του .

Από το λήμμα 2 προκύπτει ότι το είναι παραλληλόγραμμο. Άρα , αφού . Δηλαδή το είναι διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου. Η ευθεία όμως περιέχει και την διάμετρο του κύκλου του Euler, γεγονός που ολοκληρώνει και την απόδειξη του αντιστρόφου.