Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6777
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Νοέμ 28, 2018 4:52 pm

Διχοτόμος παράλληλη σε διάκεντρο.png
Διχοτόμος παράλληλη σε διάκεντρο.png (14.98 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O. Έστω σημεία E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z των πλευρών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC για τα οποία BE = CZ.

Ας είναι K το κέντρο του κύκλου (A,E,Z). Δείξετε ότι η διάκεντρος OK είναι παράλληλη στη διχοτόμος AD του τριγώνου ABC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8495
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 28, 2018 5:43 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Νοέμ 28, 2018 4:52 pm
Διχοτόμος παράλληλη σε διάκεντρο.png

Τρίγωνο ABC είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O. Έστω σημεία E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z των πλευρών AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC για τα οποία BE = CZ.

Ας είναι K το κέντρο του κύκλου (A,E,Z). Δείξετε ότι η διάκεντρος OK είναι παράλληλη στη διχοτόμος AD του τριγώνου ABC.
Doloros.Nov.2018.png
Doloros.Nov.2018.png (25.52 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές
Οι μεσοκάθετοι των EZ, BC τέμνονται στο N. Τα τρίγωνα BEN, CZN είναι προφανώς ίσα (Π-Π-Π), άρα οι μπλε γωνίες

καθώς και οι κόκκινες είναι ίσες, οπότε το N είναι κοινό σημείο των δύο κύκλων. Επειδή η SN είναι διάμετρος SA\bot AN, αλλά

και OK\bot AN (η διάκεντρος είναι κάθετη στην κοινή χορδή). Επομένως \boxed{OK||AD}


giannimani
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Διάκεντρος παράλληλη σε διχοτόμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Τετ Νοέμ 28, 2018 10:43 pm

Dspar.png
Dspar.png (71.13 KiB) Προβλήθηκε 322 φορές
Με μικρές διαφορές...

Θα χρησιμοποιήσουμε το επόμενο λήμμα:

Στις πλευρές AB και AC ενός σκαληνού τριγώνου ABC, θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία E και Z.
Το σημείο A_{1} είναι το μέσο του τόξου BAC του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC.
Να αποδείξετε ότι η ισότητα BE = CZ ισχύει, αν και μόνο αν τα σημεία E, Z, A_{1}, A είναι ομοκυκλικά
.

Απόδειξη λήμματος: Τα τρίγωνα A_{1}BE και A_{1}CZ είναι ίσα, εφόσον BE=CZ, A_{1}B=A_{1}C, και \angle{ABA_{1}}=\angle{ACA_{1}}.
Οπότε \angle{EA_{1}B}=\angle{ZA_{1}C}. Επομένως \angle{EA_{1}Z}= \angle{EA_{1}B}+\angle{BA_{1}Z}=\angle{BA_{1}Z}+\angle{ZA_{1}C}=\angle{BA_{1}C}=\angle{BAC}.

Εύκολα αποδεικνύεται και το αντίστροφο.

Είναι προφανές ότι η διχοτόμος της γωνίας A τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο \Omega του \triangle{ABC} στο σημείο S
που είναι το μέσο του τόξου BC που δεν περιέχει την κορυφή A, δηλαδή, BS=CS.
Επομένως, το BA_{1}CS είναι τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα στο σημείο Μ
που είναι το μέσο της ΒC, δηλαδή, η A_{1}S διάμετρος του \Omega.

Όμοια, το T είναι το μέσο του τόξου EZ του κύκλου \omega, δηλαδή ET=ZT.
Επομένως, το EA_{1}ZT είναι τετράπλευρο του οποίου οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα στο σημείο N
που είναι το μέσο της EZ, δηλαδή, η A_{1}T διάμετρος του \omega (από την απόδειξη του λήμματος,
προκύπτει ότι το \triangle{EA_{1}Z} είναι ισοσκελές με τη γωνία της κορυφής του να ισούται με τη γωνία BAC).

Από το τρίγωνο A_{1}TS, είναι φανερό ότι (KO) \parallel (TS)\equiv (AD).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης