Υπάρχει λόγος..

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 889
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Υπάρχει λόγος..

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Δεκ 06, 2018 3:46 pm

Καλησπέρα.
Υπάρχει λόγος...PNG
Υπάρχει λόγος...PNG (8.36 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC , την διάμεσο AM και E το συμμετρικό του B ως προς την AM.

Το H \in AC ώστε \widehat{AHB}=\widehat{ABC} και N η τομή των ME,BH. Αν είναι MN=BC τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( MAN \right )}{\left (BAC  \right )} . Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7290
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπάρχει λόγος..

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 06, 2018 7:47 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 3:46 pm
Καλησπέρα.
Υπάρχει λόγος...PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC , την διάμεσο AM και E το συμμετρικό του B ως προς την AM.

Το H \in AC ώστε \widehat{AHB}=\widehat{ABC} και N η τομή των ME,BH. Αν είναι MN=BC τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( MAN \right )}{\left (BAC  \right )} . Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα!

Νομίζω ότι η ισότητα \widehat{AHB}=\widehat{ABC} δεν επηρεάζει τη λύση της άσκησης (το σημείο H είναι περιττό).
Υπάρχει λόγος.png
Υπάρχει λόγος.png (14.26 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
Το ABME είναι χαρταετός και τα τρίγωνα \displaystyle ABM,AME είναι ίσα οπότε, \boxed{(MAN)=(BAC)}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 889
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Υπάρχει λόγος..

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Δεκ 06, 2018 9:58 pm

Γιώργο σ' ευχαριστώ , έχεις απόλυτο δίκιο. Ας το δούμε γενικότερα , όπως το είχα αρχικά..
Υπάρχει λόγος Β...PNG
Υπάρχει λόγος Β...PNG (7.91 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC , την διάμεσο AM και E το συμμετρικό του B ως προς την AM.

Το H \in AC ώστε \widehat{AHB}=\widehat{ABC} και N η τομή των ME,BH

Να εξεταστεί αν η AM είναι γεωμετρικός μέσος των BM και MN

Αν είναι \dfrac{MN}{AM}=\lambda τότε να υπολογιστεί - ως συνάρτηση του \lambda - ο λόγος \dfrac{\left ( MAN \right )}{\left (BAC  \right )}. Ευχαριστώ και πάλι.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7290
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπάρχει λόγος..

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 07, 2018 9:45 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:58 pm
Γιώργο σ' ευχαριστώ , έχεις απόλυτο δίκιο. Ας το δούμε γενικότερα , όπως το είχα αρχικά..
Υπάρχει λόγος Β...PNG
Θεωρούμε το τρίγωνο ABC , την διάμεσο AM και E το συμμετρικό του B ως προς την AM.

Το H \in AC ώστε \widehat{AHB}=\widehat{ABC} και N η τομή των ME,BH

Να εξεταστεί αν η AM είναι γεωμετρικός μέσος των BM και MN

Αν είναι \dfrac{MN}{AM}=\lambda τότε να υπολογιστεί - ως συνάρτηση του \lambda - ο λόγος \dfrac{\left ( MAN \right )}{\left (BAC  \right )}. Ευχαριστώ και πάλι.
Γεια σου Γιώργο!
Υπάρχει λόγος.ΙΙ.png
Υπάρχει λόγος.ΙΙ.png (21.64 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές
\displaystyle A\widehat EN = 180^\circ  - A\widehat EM = 180^\circ  - \widehat B = 180^\circ  - A\widehat HB = A\widehat HN, άρα το AHEN είναι εγγράψιμο.

Είναι ακόμα, το ABME χαρταετός, οι πράσινες γωνίες είναι ίσες επειδή \displaystyle A\widehat HB = \widehat B και AM||EC (κάθετες στην ίδια ευθεία).

Άρα: \displaystyle A{B^2} = AH \cdot AC \Leftrightarrow A{E^2} = AH \cdot AC\mathop  \Leftrightarrow \limits^{AM||EC} M\widehat AC = E\widehat CH = A\widehat EH = A\widehat NH.

Οπότε η AM εφάπτεται στον περίκυκλο του AHN και \boxed{A{M^2} = ME \cdot MN = BM \cdot MN}

Τα ABN, AMC είναι λοιπόν όμοια και \displaystyle \frac{{AN}}{{AM}} = \frac{{AB}}{{MC}} \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{MN}}{{AM}} = \lambda

Επομένως, \boxed{ \frac{{(MAN)}}{{(BAC)}} = \frac{{AM \cdot AN}}{{BC \cdot AB}} = \frac{{{\lambda ^2}}}{2}}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 889
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Υπάρχει λόγος..

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Δεκ 08, 2018 12:20 am

Καλημέρα σε όλους. Γιώργο ένα ακόμη ευχαριστώ για την υπέροχη λύση!
Μια ελαφρά διαφοροποίηση προς το τέλος. Όπως βρήκε ο Γιώργος είναι \widehat{MAC}=\widehat{ANH}

οπότε και \widehat{ANE}=\widehat{MAE}=\widehat{BAM} ενώ \widehat{AMB}=\widehat{AMN} άρα τα τρίγωνα MAN,BAM είναι όμοια .

Έτσι έχουμε \dfrac{AM}{BM}=\dfrac{MN}{AM}=\lambda δηλ. AM^{2}=BM\cdot MN αλλά και \dfrac{\left ( MAN \right )}{\left ( BAM \right )}=\lambda ^{2}\Rightarrow \dfrac{\left ( MAN \right )}{\left ( BAC \right )}=\dfrac{\lambda ^{2}}{2}.

Υπήρχε λόγος ... :) ... να δείξουμε την ομοιότητα των τριγώνων BAN,MAC και των MAN,BAM αφού θα φανεί ιδιαιτέρως χρήσιμη
σε άλλο ενδιαφέρον - και αναπάντητο για την ώρα- θέμα!
Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης