Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

#1

: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png (13.71 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Έστω σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου AB = 2R

. Σημείο

κινείται στο ημικύκλιο και έχει προβολή πάνω στη διάμετρο το σημείο

.

Σημείο

του τμήματος

είναι τέτοιο ώστε: $DC = kDS\,\,$ , όπου

σταθερός θετικός αριθμός.

Η κάθετη στο

επί την

τέμνει την ευθεία

στο σημείο

.

Βρείτε το μέγιστο του (SBL)

.

Η επιλογή φακέλου έγινε σύμφωνα με το : " στο καλάθι δεν χωρεί στο κοφίνι περισσεύει"

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: Κυρ Δεκ 16, 2018 7:56 pm Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png

Έστω σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου . Σημείο κινείται στο ημικύκλιο και έχει προβολή πάνω στη διάμετρο το σημείο .

Σημείο του τμήματος είναι τέτοιο ώστε: $DC = kDS\,\,$ , όπου σταθερός θετικός αριθμός.

Η κάθετη στο επί την τέμνει την ευθεία στο σημείο .

Βρείτε το μέγιστο του .

Η επιλογή φακέλου έγινε σύμφωνα με το : " στο καλάθι δεν χωρεί στο κοφίνι περισσεύει"

Λόγω του εγγράψιμου $\displaystyle CSLB$ οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, άρα $\displaystyle \vartriangle CDB \simeq \vartriangle BSL \Rightarrow \frac{{SL}}{{CD}} = \frac{{SB}}{{DB}}$

Έτσι $\displaystyle SL \cdot SB = \frac{{S{B^2}}}{{DB}} \cdot CD \Rightarrow 2\left( {SBL} \right) = \frac{{DB \cdot 2R}}{{DB}} \cdot kDS \Rightarrow \left( {SBL} \right) = \left( {kR} \right)DS$

$\displaystyle \left( {SBL} \right)$ γίνεται μέγιστο,όταν το $\displaystyle DS$ γίνει μέγιστο,δηλαδή όταν $\displaystyle DS = R$ .Τότε, $\displaystyle \boxed{{{\left( {SBL} \right)}_{\max }} = k{R^2}}$

: M.E.T.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

#3

Doloros έγραψε: Κυρ Δεκ 16, 2018 7:56 pm Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png

Έστω σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου . Σημείο κινείται στο ημικύκλιο και έχει προβολή πάνω στη διάμετρο το σημείο .

Σημείο του τμήματος είναι τέτοιο ώστε: $DC = kDS\,\,$ , όπου σταθερός θετικός αριθμός.

Η κάθετη στο επί την τέμνει την ευθεία στο σημείο .

Βρείτε το μέγιστο του .

Η επιλογή φακέλου έγινε σύμφωνα με το : " στο καλάθι δεν χωρεί στο κοφίνι περισσεύει"

Παραπλήσιο.

: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.D.png (23.13 KiB) Προβλήθηκε 832 φορές

$\displaystyle DE \cdot DB = DC \cdot DS = kD{S^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{DE = \frac{{kD{S^2}}}{{DB}}}$ (1)

$\displaystyle \frac{{AS}}{{SL}} = \frac{{AD}}{{DE}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {AD} \sqrt {2R} }}{{SL}} = \frac{{AD}}{{DE}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{SL = \frac{{kD{S^2}\sqrt {2R} }}{{DB\sqrt {AD} }}}$ (2)

$\displaystyle (SBL) = \frac{1}{2}SL \cdot SB\mathop = \limits^{(2)} \frac{1}{2} \cdot \frac{{kD{S^2}\sqrt {2R} }}{{DB\sqrt {AD} }} \cdot \sqrt {2R} \sqrt {DB} = \frac{{kR \cdot D{S^2}}}{{\sqrt {AD \cdot DB} }} = kR \cdot DS \le k{R^2},$

με το μέγιστο να επιτυγχάνεται όταν το

γίνει μέσο του ημικυκλίου.

Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Re: Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση