S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Tο παρακάτω θέμα το πρότεινε ο Andrian Andreescu από το University of Texas at Austin των Η.Π.Α,, στο πρώτο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Η προθεσμία υποβολής λύσεων ήταν η 15η Μαρτίου 2019 , η οποία παρήλθε. Έτσι μπορώ να το μοιραστώ με σας.

Έστω τρίγωνο ABC

, όπου οι γωνίες

και

είναι οξείες. Έστω

το ίχνος του ύψους που άγεται από το

Aποδείξτε ότι η γωνία

είναι ορθή αν και μόνον αν $\displaystyle\frac{BD}{AB^{2}}+\frac{CD}{AC^{2}}=\frac{2}{BC}$

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Σάβ Μαρ 16, 2019 7:11 am Tο παρακάτω θέμα το πρότεινε ο Andrian Andreescu από το University of Texas at Austin των Η.Π.Α,, στο πρώτο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Η προθεσμία υποβολής λύσεων ήταν η 15η Μαρτίου 2019 , η οποία παρήλθε. Έτσι μπορώ να το μοιραστώ με σας.

Έστω τρίγωνο , όπου οι γωνίες και είναι οξείες. Έστω το ίχνος του ύψους που άγεται από το Aποδείξτε ότι η γωνία είναι ορθή αν και μόνον αν $\displaystyle\frac{BD}{AB^{2}}+\frac{CD}{AC^{2}}=\frac{2}{BC}$

Καλημέρα Τηλέμαχε!
Αν η γωνία

είναι ορθή, είναι απλό αφού $\displaystyle \frac{{BD}}{{{c^2}}} = \frac{1}{a} = \frac{{CD}}{{{b^2}}}$

Αντίστροφα τώρα, από θεώρημα οξείας γωνίας έχουμε:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} BD = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ \\ CD = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{{c^2}}} + \dfrac{{CD}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{b^2}({a^2} + {c^2} - {b^2}) + {c^2}({a^2} + {b^2} - {c^2})}}{{2a{b^2}{c^2}}}$

και από τη δοσμένη σχέση,

$\displaystyle \frac{{{b^2}({a^2} + {c^2} - {b^2}) + {c^2}({a^2} + {b^2} - {c^2})}}{{2{b^2}{c^2}}} = 2 \Leftrightarrow {a^2}({b^2} + {c^2}) - ({b^4} + {c^4} + 2{b^2}{c^2}) = 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle ({b^2} + {c^2})({a^2} - {b^2} - {c^2}) = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{a^2=b^2+c^2}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Γιώργο καλημέρα από την Κεφαλλονιά!

Η λύση σου είναι ακριβώς ίδια με τη δική μου...
Τελικά , ήταν πολύ απλό θέμα...

S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση