S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Μαρ 16, 2019 7:11 am

Tο παρακάτω θέμα το πρότεινε ο Andrian Andreescu από το University of Texas at Austin των Η.Π.Α,, στο πρώτο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Η προθεσμία υποβολής λύσεων ήταν η 15η Μαρτίου 2019 , η οποία παρήλθε. Έτσι μπορώ να το μοιραστώ με σας.



Έστω τρίγωνο ABC , όπου οι γωνίες B και C είναι οξείες. Έστω D το ίχνος του ύψους που άγεται από το A. Aποδείξτε ότι η γωνία A είναι ορθή αν και μόνον αν \displaystyle\frac{BD}{AB^{2}}+\frac{CD}{AC^{2}}=\frac{2}{BC}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7922
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 16, 2019 9:48 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Σάβ Μαρ 16, 2019 7:11 am
Tο παρακάτω θέμα το πρότεινε ο Andrian Andreescu από το University of Texas at Austin των Η.Π.Α,, στο πρώτο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019.
Η προθεσμία υποβολής λύσεων ήταν η 15η Μαρτίου 2019 , η οποία παρήλθε. Έτσι μπορώ να το μοιραστώ με σας.



Έστω τρίγωνο ABC , όπου οι γωνίες B και C είναι οξείες. Έστω D το ίχνος του ύψους που άγεται από το A. Aποδείξτε ότι η γωνία A είναι ορθή αν και μόνον αν \displaystyle\frac{BD}{AB^{2}}+\frac{CD}{AC^{2}}=\frac{2}{BC}
Καλημέρα Τηλέμαχε!
Αν η γωνία A είναι ορθή, είναι απλό αφού \displaystyle \frac{{BD}}{{{c^2}}} = \frac{1}{a} = \frac{{CD}}{{{b^2}}}


Αντίστροφα τώρα, από θεώρημα οξείας γωνίας έχουμε:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
BD = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ 
\\ 
CD = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} 
\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{{c^2}}} + \dfrac{{CD}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{b^2}({a^2} + {c^2} - {b^2}) + {c^2}({a^2} + {b^2} - {c^2})}}{{2a{b^2}{c^2}}}

και από τη δοσμένη σχέση,

\displaystyle \frac{{{b^2}({a^2} + {c^2} - {b^2}) + {c^2}({a^2} + {b^2} - {c^2})}}{{2{b^2}{c^2}}} = 2 \Leftrightarrow {a^2}({b^2} + {c^2}) - ({b^4} + {c^4} + 2{b^2}{c^2}) = 0 \Leftrightarrow

\displaystyle ({b^2} + {c^2})({a^2} - {b^2} - {c^2}) = 0 \Leftrightarrow \boxed{a^2=b^2+c^2} που αποδεικνύει το ζητούμενο.


ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

Re: S-472 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Σάβ Μαρ 16, 2019 10:01 am

Γιώργο καλημέρα από την Κεφαλλονιά!

Η λύση σου είναι ακριβώς ίδια με τη δική μου...
Τελικά , ήταν πολύ απλό θέμα...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες