Κέντρο πάνω από το έγκεντρο

KARKAR · #1

: Κέντρο πάνω από το έγκεντρο.png (17.51 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές

Το

είναι το σημείο τομής των διχοτόμων OP , AQ

, ενώ η

τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου στα S,T

. Δείξτε ότι το κέντρο

του κύκλου (S,E,T)

βρίσκεται

στην ίδια "κατακόρυφο" με το

και υπολογίστε την ακτίνα αυτού του κύκλου .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 20, 2019 7:00 pm Κέντρο πάνω από το έγκεντρο.pngΤο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων , ενώ η τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου στα . Δείξτε ότι το κέντρο του κύκλου βρίσκεται

στην ίδια "κατακόρυφο" με το και υπολογίστε την ακτίνα αυτού του κύκλου .

Καλησπέρα!

Η

έχει εξίσωση y=x

άρα έστω

.

Πρέπει d(E,AB)=x_0

,η

έχει εξίσωση 4x+3y-12=0

Οπότε: $d(E,AB)=x_0\Leftrightarrow \dfrac{\left | 7x_0-12 \right |}{5}=x_0$

Λύνουμε την εξίσωση και κρατάμε την x_0=1

οπότε

.

Αν

τότε $7x_1-12=0\Leftrightarrow x_1=\dfrac{12}{7}$ οπότε $P(\dfrac{12}{7},\dfrac{12}{7})$ . Από την εξίσωση της

βρίσκουμε $Q(0,\dfrac{3}{2})$

Οι μεσοκάθετοι των AO,BO

τέμνονται στο $G(\dfrac{3}{2},2)$ .

Είναι $d(O,G)=\dfrac{5}{2}$ άρα ο περίκυκλος του ABO

έχει εξίσωση : $\left ( x-\dfrac{3}{2} \right )^2+\left ( y-2 \right )^2=\dfrac{25}{4}$

Η εξίσωση της

είναι $y=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{3}{2}\,\,\,(*)$ .

Αντικαθιστούμε την (*)

στην εξίσωση του περίκυκλου του ABO

και καταλήγουμε στην :

13x^2-40x-48=0

από την οποία $S\left (\dfrac{-12}{13},\dfrac{18}{13} \right ),T\left ( 4,2 \right )$

Το μέσο του

είναι $\left ( \dfrac{1-\dfrac{12}{13}}{2},\dfrac{1+\dfrac{18}{13}}{2} \right ),\,\,\acute{\eta }\,\,\left ( \dfrac{1}{26} ,\dfrac{31}{26}\right )$

Όμοια το μέσο του

είναι το $\left ( \dfrac{5}{2},\dfrac{3}{2} \right )$

Εύκολα βρίσκουμε τώρα πως οι μεσοκάθετες των ES,ET

έχουν εξισώσεις $\left\{\begin{matrix} & y=5x+1 & \\ & y=-3x+9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1,y=6$ άρα $K\left ( 1,6 \right )$ .

Το ζητούμενο δείχθηκε και ο κύκλος έχει ακτίνα $r=d\left ( K,E \right )=5$

#3

: Το κέντρο πάνω απο το έγκεντρο_γενίκευση.png (28 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

Δεν την έχω ξαναδεί , το λογισμικό, μου δείχνει ότι:

Η άσκηση γενικεύεται σε κάθε $\vartriangle ABC$ και η ακτίνα είναι διπλάσια της ακτίνας του $\vartriangle ABC$

KARKAR · #4

Νίκο , πράγματι πρόκειται για το θέμα αυτό , στο οποίο έκανα

μια "λάιτ" διασκευή , ώστε να λύνεται με χρήση συντεταγμένων ...

Κέντρο πάνω από το έγκεντρο

Κέντρο πάνω από το έγκεντρο

Re: Κέντρο πάνω από το έγκεντρο

Re: Κέντρο πάνω από το έγκεντρο

Re: Κέντρο πάνω από το έγκεντρο

Μέλη σε σύνδεση