Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

#1

: Διπλάσια γωνία και διχοτόμος.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές

είναι η διχοτόμος ορθογωνίου τριγώνου ABC

με $\widehat A=90^\circ$ και $\widehat B=20^\circ.$ Στην προέκταση

της

θεωρούμε σημείο

ώστε $D\widehat EA=2C\widehat ED.$ Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $C\widehat ED=\theta.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: Τρί Ιούλ 02, 2019 7:09 pm Διπλάσια γωνία και διχοτόμος.png
είναι η διχοτόμος ορθογωνίου τριγώνου με $\widehat A=90^\circ$ και $\widehat B=20^\circ.$ Στην προέκταση

της θεωρούμε σημείο ώστε $D\widehat EA=2C\widehat ED.$ Να βρείτε το μέτρο της γωνίας $C\widehat ED=\theta.$

Με γενικευμένο θεώρημα Διχοτόμων στο CEA

είναι $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{EA\sin2\vartheta }{EC\sin\vartheta }=2\cos3\vartheta \cdot \cos\vartheta$

Με θεώρημα διχοτόμων στο ABC

είναι $\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}=\cos20$

Άρα $\cos20=2\cos3\vartheta \cdot \cos\vartheta$ . Παρατηρούμε πως για $\vartheta =20^{\circ}$ η ισότητα αληθεύει .

Η λύση αυτή είναι και η μοναδική λόγω της μονοτονίας της $\cos\theta$ στο [0,90]

αφού $3\theta<90$ .

#3

Κατασκευή:

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC \to (90^\circ ,20^\circ ,70^\circ )$ και στη διχοτόμο

θεωρώ σημείο

με $\boxed{DC = DI}$

και φέρνω τη μεσοκάθετο του

που τέμνει την ευθεία

στο

Απόδειξη :

Ας είναι $S\,\,,M$ τα σημεία τομής της μεσοκαθέτου αυτής με τις $BC\,\,,\,\,CI$ Θα είναι $\boxed{\widehat \theta = \widehat {{\theta _1}}}$ .

Το τετράπλευρο AECM

εγγράψιμο οπότε : τα $E\,,\,\,C$ βλέπουν υπό ίσες γωνίες την

συνεπώς $\boxed{\widehat {{\theta _1}} + \widehat \omega = 40^\circ }\,\,(1)$ .

: Διπλάσια γωνία και διχοτόμος.png (35 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Αφού όμως $\widehat {ICS} = \widehat {SIC} = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ$ θα είναι : $\widehat {CSM} = \widehat {MSI} = \widehat {ISB} = 60^\circ$ και

Αναγκαστικά το

είναι έγγκεντρο στο $\vartriangle SEB$ , οπότε λόγω της (1)

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat \omega = 20^\circ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {DEC} = \widehat \theta = 20^\circ \hfill \\ \widehat {AED} = \widehat {2\theta } = 40^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

Re: Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

Re: Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση