Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8403
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 02, 2019 7:09 pm

Διπλάσια γωνία και διχοτόμος.png
Διπλάσια γωνία και διχοτόμος.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές
BD είναι η διχοτόμος ορθογωνίου τριγώνου ABC με \widehat A=90^\circ και \widehat B=20^\circ. Στην προέκταση

της BA θεωρούμε σημείο E ώστε D\widehat EA=2C\widehat ED. Να βρείτε το μέτρο της γωνίας C\widehat ED=\theta.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 389
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Ιούλ 02, 2019 9:00 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιούλ 02, 2019 7:09 pm
Διπλάσια γωνία και διχοτόμος.png
BD είναι η διχοτόμος ορθογωνίου τριγώνου ABC με \widehat A=90^\circ και \widehat B=20^\circ. Στην προέκταση

της BA θεωρούμε σημείο E ώστε D\widehat EA=2C\widehat ED. Να βρείτε το μέτρο της γωνίας C\widehat ED=\theta.
Με γενικευμένο θεώρημα Διχοτόμων στο CEA είναι \dfrac{AD}{DC}=\dfrac{EA\sin2\vartheta }{EC\sin\vartheta }=2\cos3\vartheta \cdot \cos\vartheta

Με θεώρημα διχοτόμων στο ABC είναι \dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}=\cos20

Άρα \cos20=2\cos3\vartheta \cdot \cos\vartheta. Παρατηρούμε πως για \vartheta =20^{\circ} η ισότητα αληθεύει .

Η λύση αυτή είναι και η μοναδική λόγω της μονοτονίας της \cos\theta στο [0,90] αφού 3\theta<90.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6714
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διπλάσια γωνία και διχοτόμος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιούλ 03, 2019 12:16 pm

Κατασκευή:

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC \to (90^\circ ,20^\circ ,70^\circ ) και στη διχοτόμο BD θεωρώ σημείο I με \boxed{DC = DI}

και φέρνω τη μεσοκάθετο του IC που τέμνει την ευθεία BA στο E.

Απόδειξη :

Ας είναι S\,\,,M τα σημεία τομής της μεσοκαθέτου αυτής με τις BC\,\,,\,\,CI Θα είναι \boxed{\widehat \theta  = \widehat {{\theta _1}}}.

Το τετράπλευρο AECM εγγράψιμο οπότε : τα E\,,\,\,C βλέπουν υπό ίσες γωνίες την AM συνεπώς \boxed{\widehat {{\theta _1}} + \widehat \omega  = 40^\circ }\,\,(1).
Διπλάσια γωνία  και διχοτόμος.png
Διπλάσια γωνία και διχοτόμος.png (35 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές
Αφού όμως \widehat {ICS} = \widehat {SIC} = 70^\circ  - 40^\circ  = 30^\circ θα είναι : \widehat {CSM} = \widehat {MSI} = \widehat {ISB} = 60^\circ και

Αναγκαστικά το I είναι έγγκεντρο στο \vartriangle SEB , οπότε λόγω της (1)

\widehat {{\theta _1}} = \widehat \omega  = 20^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {DEC} = \widehat \theta  = 20^\circ  \hfill \\ 
  \widehat {AED} = \widehat {2\theta } = 40^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες