Ισότητα γωνιών

#1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC

με

. Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

και έστω

το συμμετρικό του

ως προς την

. Να δειχθεί ότι $B\widehat{A}D=E\widehat{C}D$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

achilleas έγραψε: Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:16 pm Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με . Έστω το συμμετρικό του ως προς το και έστω το συμμετρικό του ως προς την . Να δειχθεί ότι $B\widehat{A}D=E\widehat{C}D$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλησπέρα Αχιλλέα!

: Ισότητα γωνιών.Α.png (12.24 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Η

είναι μεσοκάθετη της BE,

άρα το

είναι χαρταετός και $A\widehat ED=A\widehat BD=A\widehat CB,$

οπότε το AEDC

είναι εγγράψιμο. Επομένως, $E\widehat CD=E\widehat AD=B\widehat AD.$

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #3

Έστω $K\equiv BE\cap AD$ και $N\equiv EC\cap AD$ . Φέρω $AL\perp BC$ και $KL\parallel EC$ . Είναι $\widehat{BAL}=\widehat{BKL}=\widehat{BEC}$ , οπότε $ABL\approx EKN$ και άρα $\widehat{ABL}=\widehat{KNE}$ , δηλαδή το τετράπλευρο ABCN

είναι εγγράψιμο, άρα $\widehat{BAD}=\widehat{ECD}$ .

: Ισότητα γωνιών.PNG (29.27 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Υ.Γ: Δεν χρησιμοποίησα την σχέση BC=CD

.

Ιστοσελίδα · #4

achilleas έγραψε: Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:16 pm Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με . Έστω το συμμετρικό του ως προς το και έστω το συμμετρικό του ως προς την . Να δειχθεί ότι $B\widehat{A}D=E\widehat{C}D$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

: shape.png (24.02 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές

$\angle ACB = \angle DEA = \varphi \Rightarrow EACD$ εγγράψιμο, συνεπώς $\angle ECD = \angle EAD = \angle BAD$

Υ.Γ. Ίδια λύση με τον Γιώργο...συμφωνώ με το Θεοδόσιο ότι η πρώτη συμμετρία δε χρειάζεται.

#5

Καλησπέρα σας!

Ας προσθέσω ότι πρόκειται για το πρόβλημα E15068

του $\text{Gazeta Matematic\u a}$ , με λύση στο Τεύχος 3/2017.

Πράγματι, η χρήση εγγράψιμων τετραπλεύρων είναι η πρώτη ιδέα που έρχεται στο νου.

Την πρότεινα σήμερα στους μαθητές της Α Λυκείου που συμμετέχουν στην προετοιμασία για το διαγωνισμό "Ο ΘΑΛΗΣ" με την ελπίδα να βρουν κάποιο επιχείρημα χωρίς εγγράψιμα.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ισότητα γωνιών

Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Re: Ισότητα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση