Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: Η 100-στάρα και ο γεωμετρικός μέσος..PNG (8.26 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος έχει CD=AC=AB

και $\widehat{BAC}=100^{0}$ . Αν $\widehat{ACE}=30^{0}$ και $AI\perp CE$ τότε

Να εξεταστεί αν το

είναι γεωμετρικός μέσος των

και

. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τετ Νοέμ 06, 2019 1:31 pm Χαιρετώ.
Η 100-στάρα και ο γεωμετρικός μέσος..PNG
Το τρίγωνο του σχήματος έχει και $\widehat{BAC}=100^{0}$ . Αν $\widehat{ACE}=30^{0}$ και $AI\perp CE$ τότε

Να εξεταστεί αν το είναι γεωμετρικός μέσος των και . Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Δεν νομίζω να είναι κι ο πιο εύκολος τρόπος...

Στο παρακάτω σχήμα,εύκολα προκύπτουν $\angle AKC= \angle AIC=80^0$

οπότε AKIC

εγγράψιμο,άρα $DI . DC=DK . DA \Rightarrow DI . AC=DK . DA$

Είναι, $\angle BAI= \angle ABI= \angle ACB=40^0 \Rightarrow AI=IB$ και $b^2=BI . a \Rightarrow BI=AI= \dfrac{b^2}{a}$ ,άρα $BE=b- \dfrac{b^2}{a}$

Έστω τώρα AI=IZ

οπότε $\angle ABZ=90^0 \Rightarrow AE . b=AN . AZ \Rightarrow AE . b= \dfrac{b}{2} . 2 \dfrac{b^2}{a} \Rightarrow AE= \dfrac{b^2}{a}=AI=BI$

Έστω σημείο

στην

με $\angle IAF=20^0$ .Τότε $\angle FAC=40^0$ και AF=FC=AI=AE

κι

επειδή $\angle DAF= \angle EAD=30^0 \Rightarrow \triangle AEF$ ισόπλευρο.

Άρα $ED=DF=b-FC=b-AE=b- \dfrac{b^2}{a}=BE$ κι

επειδή $\angle EFD=20^0 \Rightarrow \angle KEF= \angle KFE=10^0 \Rightarrow \angle KFD= \angle KAF=30^0$

Έτσι,η EF=BE

είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\triangle AKF \Rightarrow DF^2=EB^2=DK . DA=DI . AC$

: Η 100στάρα και ο γεωμετρικός μέσος.png (33.1 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλησπέρα. Σ' ευχαριστώ Μιχάλη για την εξόχως Γεωμετρική λύση!
Ας δούμε και την ακόλουθη με χρήση του σχήματος:

: H 100στάρα...PNG (12.64 KiB) Προβλήθηκε 576 φορές

Βρίσκουμε $\widehat{DAI}=10^{0}=\widehat{KCI}$ οπότε όπως γράφει κι' ο Μιχάλης το AKIC

είναι εγγράψιμο

και συνεπώς $DI\cdot AC=DI\cdot DC=DK\cdot DA$ .

Ο Νόμος Ημιτόνων στο AEC

δίνει $\dfrac{AE}{b}=\dfrac{\eta \mu 30^{0}}{\eta \mu 50^{0}}=\dfrac{1}{2\eta \mu 50^{0}}$ , ενώ $\eta \mu 50^{0}=\eta \mu \dfrac{A}{2}=\dfrac{a/2}{b}$ άρα $\dfrac{AE}{b}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{DC}{BC}$ .

Έπεται από το αντίστροφο του Θαλή ότι $\boxed{DE\parallel AC}$ .Τότε BE=ED

και $\widehat{DEC}=30^{0}=\widehat{DAE}$

οπότε η

είναι εφαπτομένη του κύκλου των A,E,K

. Έτσι έχουμε $BE^{2}=DE^{2}=DK\cdot DA=DI\cdot AC$ . Φιλικά Γιώργος.

Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

Re: Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

Re: Η 100στάρα κι' ο γεωμετρικός μέσος

Μέλη σε σύνδεση