"Νόμος" των συνημιτόνων

KARKAR · #1

: _Νόμος_ των συνημιτόνων.png (22.98 KiB) Προβλήθηκε 878 φορές

Τα

είναι τα ύψη σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ και το

τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου και στο σημείο

.Υπολογίστε τα τμήματα FE , HD

συναρτήσει των πλευρών

και των συνημιτόνων των γωνιών του τριγώνου .

Αν

το μέσο του

, δείξτε ότι τα τρίγωνα BFM , SHE

είναι όμοια .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Ιαν 26, 2020 9:29 pm _Νόμος_ των συνημιτόνων.pngΤα είναι τα ύψη σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ και το τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου και στο σημείο .Υπολογίστε τα τμήματα συναρτήσει των πλευρών

και των συνημιτόνων των γωνιών του τριγώνου .

Αν το μέσο του , δείξτε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια .

Δουλεύω σε οξυγώνιο τρίγωνο.

: Ν.Συν..png (18.89 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα AEF, ABC,

$\displaystyle \frac{{FE}}{a} = \frac{{AF}}{b} = \frac{{b\cos A}}{b} \Leftrightarrow$ $\boxed{FE = a\cos A}$

$\displaystyle \sin (H\widehat CD) = \frac{{HD}}{{HC}} \Leftrightarrow \cos B = \frac{{HD}}{{2R\cos C}} \Leftrightarrow HD = \frac{b}{{\sin B}}\cos B\cos C = \frac{{b\cos B\cos C}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}B} }}$

(σύμφωνα με τις απαιτήσεις του θεματοδότη). Προσωπικά, προτιμώ τη μορφή $\boxed{HD = b\cot B\cos C}$

Είναι ακόμα, $\displaystyle BF = a\cos B,HE = HC\cos A = 2R\cos C\cos A = \frac{{b\cos A\cos C}}{{\sin B}}$

$\displaystyle HS \cdot FM = 2HD \cdot \frac{{FE}}{2} = HD \cdot FE = ab\cos A\cos C\cot B = BF \cdot HE \Leftrightarrow \frac{{HS}}{{BF}} = \frac{{HE}}{{FM}}$

κι επειδή $\displaystyle B\widehat FM = 90^\circ + \varphi = 90^\circ + \omega = S\widehat HE,$ τα ζητούμενα τρίγωνα είναι όμοια.

Xriiiiistos · #3

Και μία δίχως τριγωνομετρία στα όμοια τρίγωνα έστω N μέσο το HE ΤΌΤΕ $\widehat{DHE}=\widehat{BFE}=180-\widehat{ACB}\kappa \alpha \iota \widehat{ABE}=\widehat{ADE}$ ΆΡΑ τα τρίγωνα BFE,DHE

είναι όμοια και BM,DN

oμόλογοι διάμεσοι άρα τα τρίγωνα DHN,BFM

(1) είναι όμοια. D,N

μέσα των

άρα

και

(2) είναι όμοια τρίγωνα από (1),(2) BFM,HSE

όμοια τρίγωνα

"Νόμος" των συνημιτόνων

"Νόμος" των συνημιτόνων

Re: "Νόμος" των συνημιτόνων

Re: "Νόμος" των συνημιτόνων

Μέλη σε σύνδεση