Σχέση πλευρών τριγώνου 3

#1

: Σχέση μεταξύ πλευρών..png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 1008 φορές

Επί της διχοτόμου

τριγώνου

υπάρχει σημείο

ώστε

και $B\widehat CM=30^\circ.$

Να βρείτε μία σχέση που να συνδέει τις πλευρές a, b, c

του τριγώνου.

#2

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2020 5:54 pm Σχέση μεταξύ πλευρών..png
Επί της διχοτόμου τριγώνου υπάρχει σημείο ώστε και $B\widehat CM=30^\circ.$

Να βρείτε μία σχέση που να συνδέει τις πλευρές του τριγώνου.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2020 5:54 pm Σχέση μεταξύ πλευρών..png
Επί της διχοτόμου τριγώνου υπάρχει σημείο ώστε και $B\widehat CM=30^\circ.$

Να βρείτε μία σχέση που να συνδέει τις πλευρές του τριγώνου.

Ας είναι

το μέσο του ισοσκελούς τριγώνου AMC

και $T\,\,,\,\,L$ oι προβολές του

στις $AB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Τότε οι $AM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AN$ είναι τριχοτόμοι της $\widehat {BAC}$ .

Έστω ακόμα

το συμμετρικό του

ως προς το

. Προφανώς κι εδώ οι $BM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BL$ είναι τριχοτόμοι της $\widehat {KBA}$ .

Τώρα τα τρίγωνα $MLN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MKC$ είναι ισόπλευρα , το τετράπλευρο KCNL

είναι ισοσκελές τραπέζιο και μάλιστα : KL = LN = NC

.

: Σχέση πλευρών τριγώνου 3_Morley.png (45 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

Ας είναι

το σημείο τομής των $BK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS$ .

Οι $SL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SN$ είναι τριχοτόμοι της $\widehat {ASB}$ ( Θ. Morley

) . Αφού όμως οι κύκλοι:

$\left( {S,K,L} \right)\,\,,\,\,\left( {S,L,N} \right),\left( {S,N,C} \right)$ έχουν τις πλευρές KL = LN = NC

και τις απέναντι γωνίες ίσες θα είναι ίσοι .

Αναγκαστικά αφού από τέσσερα σημεία K,L,N,C

έχουν ένα περιγεγραμμένο κύκλο αυτός θα διέρχεται κι από το

.

Δηλαδή η κάθε μια από τις ίσες αυτές γωνίες θα είναι ίση με $\widehat {NCB} = 30^\circ$ .

Έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο SBC

η εξωτερική γωνία

$\boxed{\widehat {ACB} = 90^\circ + \widehat {{\theta _{}}} = 90^\circ + \frac{{\widehat {ABC}}}{2}}$ που μας εξασφαλίζει ότι : $\boxed{{c^2} - {b^2} = ac}$

S.E.Louridas · #4

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2020 5:54 pm Σχέση μεταξύ πλευρών..png
Επί της διχοτόμου τριγώνου υπάρχει σημείο ώστε και $B\widehat CM=30^\circ.$
Να βρείτε μία σχέση που να συνδέει τις πλευρές του τριγώνου.

Καλημέρα στην εκπληκτική παρέα.
Ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί:

Έστω

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο MBC.

Tο τρίγωνο OMB

είναι ισόπλευρο, αφού είναι ισοσκελές με $\angle MOB = 2 \cdot {30^ \circ } = {60^ \circ }.$ Επομένως MB = OB = OM = OC.

Αυτό σημαίνει ότι η

είναι μεσοκάθετος του

άρα και διχοτόμος των γωνιών $\angle MAC,\;\angle COM$ του τετραπλεύρου AMOC.

Από εδώ παίρνουμε άμεσα την ισότητα των τριγώνων ABM, AMO, AOC.

Άρα

Έτσι η

είναι μεσοκάθετη του BO,

οπότε $\angle BMF = {30^ \circ },\;\,F \equiv \left\{ {AM} \right\} \cap \left\{ {BO} \right\}.$ Αν λοιπόν το τρίγωνο TBN

είναι το συμμετρικό του τριγώνου MBC

, ως προς την BM,

τότε $\angle BTM = {30^ \circ } = \angle BMF,$ που σημαίνει ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο TBM

εφάπτεται της AM.

Έτσι έχουμε ${b^2} = c\left( {c - a} \right) \Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = ac.$

(*) Τυπογραφικό: αντί για

τέθηκε στη θέση του το σωστό: ... το τρίγωνο TBN

είναι ....

: k.png (46.05 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2020 5:54 pm Σχέση μεταξύ πλευρών..png
Επί της διχοτόμου τριγώνου υπάρχει σημείο ώστε και $B\widehat CM=30^\circ.$

Να βρείτε μία σχέση που να συνδέει τις πλευρές του τριγώνου.

Έστω

συμμετρικό του

ως προς

και $MK \bot BC$ .Τότε MN=2MK=MC

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

και περνά από το

και το τρίγωνο AMZ

προφανώς είναι ισόπλευρο

Επιπλέον, $\angle Z_{1} = \angle Z_{2}= \angle A_{1}= \angle A_{2}$ άρα BZ=c

και θα ισχύει

$BL . BQ=BC . BZ \Rightarrow (c-b)(c+b)=a c \Rightarrow b^2=c(c-a)$

: Σχέση πλευρών τριγώνου 3.png (19.83 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Σχέση πλευρών τριγώνου 3

Σχέση πλευρών τριγώνου 3

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου 3

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου 3

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου 3

Re: Σχέση πλευρών τριγώνου 3

Μέλη σε σύνδεση