Ελάχιστο γινομένου

KARKAR · #1

: Ελάχιστο γινομένου.png (9.7 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, έχει κάθετες πλευρές : AB=3 , AC=4

. Στην προέκταση της

θεωρούμε σημείο

, ώστε :

. Ευθεία διερχόμενη από το

, τέμνει τις ημιευθείες CA , CB

στα σημεία T , P

αντίστοιχα . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του γινομένου : $SP\cdot ST$

#2

Θέτω $AT = t,\,t \geqslant 0$ .Π. Θ στο $\vartriangle ATS$ και Θ Μενελάου στο $\vartriangle ATS$ με διατέμνουσα $\overline {PBC}$ κι έχω:

$\left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ \frac{{AC}}{{CT}} \cdot \frac{{TP}}{{PS}} \cdot \frac{{SB}}{{BA}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ \frac{4}{{t + 4}} \cdot \frac{{TP}}{{PS}} \cdot \frac{6}{3} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ \frac{{TP}}{{PS}} = \frac{{t + 4}}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ ή

: Ελάχιστο γινομένου.png (16.21 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές

$\left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ \frac{{TP + PS}}{{PS}} = \frac{{t + 12}}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ \frac{{TS}}{{PS}} = \frac{{t + 12}}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} T{S^2} = {t^2} + 81 \hfill \\ \frac{{T{S^2}}}{{TS \cdot PS}} = \frac{{t + 12}}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Οπότε : $SP \cdot ST = \boxed{f(t) = \frac{{8\left( {{t^2} + 81} \right)}}{{t + 12}}}$ . Αλλά $f(t) \geqslant 48 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} \geqslant 0$ .

Άρα η

παρουσιάζει ελάχιστο αν $\boxed{t = 3}$ και είναι το $\boxed{48}$

KARKAR · #3

: Ελάχιστο γινομένου.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

Ας υποθέσουμε ότι το ελάχιστο επιτυγχάνεται , όταν : CT=CP

. Τότε η

θα είναι κάθετη

προς την διχοτόμο της γωνίας $\hat{C}$ και έτσι πετυχαίνουμε ευκλείδεια λύση , άσχετα με τα δεδομένα μεγέθη .

Υπολογισμοί : με : SP=x , PT=y

και δύο φορές το θ. Μενελάου , παίρνουμε : $\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{t+4}{4}\cdot\dfrac{3}{6}=1$

δηλαδή : $\dfrac{y}{x}=\dfrac{t+4}{8}$ . Επίσης : $\dfrac{4}{t}\cdot\dfrac{y+x}{x}\cdot\dfrac{t-1}{5}=1$

απ' όπου : $\dfrac{y+x}{x}=\dfrac{5t}{4(t-1)}$ , οπότε : $t=3 , \dfrac{y}{x}=\dfrac{7}{8} , x+y=3\sqrt{10}$ (Π.Θ)

και λύνοντας : $x=\dfrac{8}{5}\sqrt{10}$ . Δηλαδή : $SP \cdot ST=48$ ( κάτι παρόμοιο με την λύση του Νίκου ) .

Πώς όμως θα αποδείξουμε την αρχική υπόθεση ; Αναδιατυπώνω την εικασία :

Αν από σημείο , εξωτερικό γωνίας $\hat{C}$ φέρουμε ευθεία τέμνουσα τις πλευρές της γωνίας

στα σημεία , τότε το γινόμενο $SP \cdot ST$ ελαχιστοποιείται , όταν : .

Ελάχιστο γινομένου

Ελάχιστο γινομένου

Re: Ελάχιστο γινομένου

Re: Ελάχιστο γινομένου

Μέλη σε σύνδεση