Εγγράψιμο από εγγράψιμο

#1

: Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png (15.82 KiB) Προβλήθηκε 1418 φορές

Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων AC, BD

εγγράψιμου τετραπλεύρου ABCD

και

το σημείο

τομής των CB, DA.

Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο CEDG.

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως

προς την AD,

να δείξετε ότι και το FHDG

είναι εγγράψιμο.

#2

george visvikis έγραψε: Τρί Σεπ 22, 2020 7:10 pm Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png
Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων εγγράψιμου τετραπλεύρου και το σημείο

τομής των Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο Αν είναι το συμμετρικό του ως

προς την να δείξετε ότι και το είναι εγγράψιμο.

Στο βιβλίο των Τσίντσιφα-Μπαλλή-Ζουρνά από το θεώρημα των ισογώνιων ευθειών (σελίδα 309)

Προκύπτει ότι οι ευθείες $FE,\,\,FG$ είναι ισογώνιες των ευθειών , FC,FD

.

Τα υπόλοιπα με κυνήγι γωνιών. Αργότερα λεπτομέρειες .

#3

Καλημέρα σε όλους από Βρυξέλλες

Ωραία πρόταση Γιώργο!

Πράγματι το κλειδί της λύσης είναι η πρόταση που αναφέρει ο Νίκος η οποία έχει ξανασυζητηθεί στο mathematica παλαιότερα αλλά είναι δύσκολο να τη βρω τώρα.

Στην βιβλιογραφία αναφέρεται ως πρόταση Daniel Sokolowski και μια της απόδειξη (αυτή ήταν και στο mathematica) βρίσκεται εδώ (η τελευταία (13η ) από τον σύγχρονο θρύλο της γεωμετρίας Γάλλο φίλο Jean-Louis AYME

Θα περιμένω (την εύκολη πλέον με τη βοήθεια αυτής της πρότασης) λύση του προβλήματος από τον Νίκο και αν είναι διαφορετική από τη δική μου θα γράψω και τη δική μου αργότερα

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Παρ Σεπ 25, 2020 12:35 pm Καλημέρα σε όλους από Βρυξέλλες

Ωραία πρόταση Γιώργο!

Πράγματι το κλειδί της λύσης είναι η πρόταση που αναφέρει ο Νίκος η οποία έχει ξανασυζητηθεί στο mathematica παλαιότερα αλλά είναι δύσκολο να τη βρω τώρα.

Στην βιβλιογραφία αναφέρεται ως πρόταση Daniel Sokolowski και μια της απόδειξη (αυτή ήταν και στο mathematica) βρίσκεται εδώ (η τελευταία (13η ) από τον σύγχρονο θρύλο της γεωμετρίας Γάλλο φίλο Jean-Louis AYME

Θα περιμένω (την εύκολη πλέον με τη βοήθεια αυτής της πρότασης) λύση του προβλήματος από τον Νίκο και αν είναι διαφορετική από τη δική μου θα γράψω και τη δική μου αργότερα

Εντάξει Στάθη . Μέχρι το απόγευμα θα τα έχω γράψει ( τρέχουν και άλλες δουλειές)

#5

Λήμμα

: Λήμμα Εγγράψιμο απο εγγράψιμο_ισογώνιες_απόδειξη.png (36.08 KiB) Προβλήθηκε 1211 φορές

Έστω τα (και ομοκυκλικά σημεία ) A,B,C,D

και

το σημείο τομής των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ και

το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Για την γωνία $\widehat {DFG}$ θεωρώ την ισογώνια ευθεία της

και την τομή της

με την παράλληλη από το

προς την

.

Αν ${E_1}\,\,,\,\,{E_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{G_1}\,\,,\,\,{G_2}$ οι προβολές των $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ στις ευθείες $\overline {FAD} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {FBC}$ αντίστοιχα τότε από το θεώρημα των ισογωνίων προκύπτει ότι τα σημεία

${E_1}\,,\,{G_2}\,,\,{G_1}\,,\,{E_2}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο του οποίου το κέντρο

είναι το μέσο του

.

Άμεση συνέπεια: $\vartriangle EQC = \vartriangle GQD\,\,(\Gamma \,,\,\Pi \,,\Gamma )$ άρα EC = DG

κι αφού

το τετράπλευρο EDGC

είναι παραλληλόγραμμο.

Πάμε τώρα στην άσκηση.

: Εγγρά;ψιμο απο εγγράψιμο.png (39.19 KiB) Προβλήθηκε 1211 φορές

Οι με το ίδιο χρώμα γωνίες ότι είναι ίσες είναι παραπάνω από προφανές .

Επειδή από το τρίγωνο EAD

η εξωτερική γωνία του $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _1}}$

Θα έχω : $\widehat {GDH} + \widehat {HFG} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{a_1}} + 2\widehat {{\phi _{}}} = 180^\circ$ ( Από το $\vartriangle ACF$ )

Δηλαδή το τετράπλευρο FHDG

είναι εγγράψιμο.

#6

Doloros έγραψε: Παρ Σεπ 25, 2020 7:35 pm Λήμμα

Λήμμα Εγγράψιμο απο εγγράψιμο_ισογώνιες_απόδειξη.png

Έστω τα (και ομοκυκλικά σημεία ) και το σημείο τομής των $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ και το σημείο τομής των $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Για την γωνία $\widehat {DFG}$ θεωρώ την ισογώνια ευθεία της και την τομή της με την παράλληλη από το προς την .

Αν ${E_1}\,\,,\,\,{E_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{G_1}\,\,,\,\,{G_2}$ οι προβολές των $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G$ στις ευθείες $\overline {FAD} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {FBC}$ αντίστοιχα τότε από το θεώρημα των ισογωνίων προκύπτει ότι τα σημεία

${E_1}\,,\,{G_2}\,,\,{G_1}\,,\,{E_2}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο του οποίου το κέντρο είναι το μέσο του .

Άμεση συνέπεια: $\vartriangle EQC = \vartriangle GQD\,\,(\Gamma \,,\,\Pi \,,\Gamma )$ άρα κι αφού το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Πάμε τώρα στην άσκηση.

Εγγρά;ψιμο απο εγγράψιμο.png

Οι με το ίδιο χρώμα γωνίες ότι είναι ίσες είναι παραπάνω από προφανές .

Επειδή από το τρίγωνο η εξωτερική γωνία του $\widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _1}}$

Θα έχω : $\widehat {GDH} + \widehat {HFG} = \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} + \widehat {{a_1}} + 2\widehat {{\phi _{}}} = 180^\circ$ ( Από το $\vartriangle ACF$ )

Δηλαδή το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

george visvikis έγραψε: Τρί Σεπ 22, 2020 7:10 pm Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png
Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων εγγράψιμου τετραπλεύρου και το σημείο

τομής των Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο Αν είναι το συμμετρικό του ως

προς την να δείξετε ότι και το είναι εγγράψιμο.

Ο περίκυκλος του τριγώνου CAF

τέμνει την

στο

Επειδή $\angle SAF= \angle SCF= \angle CBD= \angle CAD =\angle DAH \Rightarrow S,A,H$ συνευθειακά και όλες οι

γωνίες $\theta$ είναι ίσες όπως και οι κόκκινες και SFHD

εγγράψιμο

Προφανώς ισχύει $\angle GDF= \angle GCB$ και $\angle GCB+ \omega =180^0 \Rightarrow \angle GDF+GSF=180^0 \Rightarrow GSFD$ εγγράψιμο

Έτσι, $\angle FGD= \angle FSD= \angle DHx$ που αποδεικνύει το ζητούμενο

: Εγγράψιμο από εγγράψιμο.png (33.18 KiB) Προβλήθηκε 1156 φορές

#8

Αλλιώς. Από το εγγράψιμο ABCD

και από το παραλληλόγραμμο CEDG

προκύπτει ότι:

: Εγγράψιμο από εγγράψιμο.β.png (19.86 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

$\displaystyle F\widehat BA = F\widehat DC,A\widehat BD = A\widehat CD = C\widehat DG \Rightarrow$ $\boxed{F\widehat BE = F\widehat DG}$ (1)

Από τα όμοια τρίγωνα FBA, FCD,

αλλά και τα EAB, ECD,

$\displaystyle \frac{{FB}}{{FD}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{EB}}{{DG}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{FB}}{{EB}} = \frac{{FD}}{{DG}}}$ (2)

Από

τα

είναι όμοια, άρα $\displaystyle F\widehat GD = F\widehat EB = 180^\circ - F\widehat ED = 180^\circ - F\widehat HD$ και το ζητούμενο έπεται.

Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Re: Εγγράψιμο από εγγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση