Διπλάσια γωνία 16

KARKAR · #1

: Διπλάσια γωνία 16.png (6.51 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

Τα σημεία A , B

βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία x'x

.

Προσδιορίστε σημείο

της ευθείας , τέτοιο ώστε : $\widehat{ASx'}=2\widehat{BSx}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 05, 2021 11:57 am Διπλάσια γωνία 16.pngΤα σημεία βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία .

Προσδιορίστε σημείο της ευθείας , τέτοιο ώστε : $\widehat{ASx'}=2\widehat{BSx}$ .

Αν

οι προβολές των A,B

στην ευθεία και αν θέσουμε $AA'=a,\, BB'=b, \, A'B'=c$ , έχουμε

$c= A'S+SB'= \dfrac {a}{\tan 2 \theta }+\dfrac {b}{\tan \theta } = \dfrac {a(1- \tan ^2 \theta)}{2\tan \theta }+\dfrac {b}{\tan \theta } =\dfrac {a(1- t ^2 )}{2 t}+\dfrac {b}{t }$

και λύνουμε την δευτεροβάθμια ως προς $t=\tan \theta$ που προκύπτει, συγκεκριμένα at^2+2ct-(a+2b)=0

. Τα υπόλοιπα αμέσα.

Υπάρχει και ωραία Γεωμετρική λύση. Επίσης και με Φυσική (Νόμος Snell) για χρονικά συντομότερη διαδρομή του φωτός σε ομογενή μέσα διαφορετικής πυκνότητας.

#3

Καλησπέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια, επίσης με εφαπτομένες.

: 06-01-2021 Γεωμετρία b.jpg (22.65 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{b}{{c - x}},\;\;\varepsilon \varphi 2\theta = \frac{a}{x}$

$\displaystyle \varepsilon \varphi 2\theta = \frac{{2\varepsilon \varphi \theta }}{{1 - \varepsilon {\varphi ^2}\theta }} \Rightarrow \frac{a}{x} = \frac{{\frac{{2b}}{{c - x}}}}{{1 - \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - x} \right)}^2}}}}}$

που έχει ρίζες $\displaystyle x = \frac{{c\left( {a + b} \right) \pm b\sqrt {{c^2} + {a^2} + 2ab} }}{{a + 2b}}$

Έστω $\displaystyle {x_1} = \frac{{c\left( {a + b} \right) + b\sqrt {{c^2} + {a^2} + 2ab} }}{{a + 2b}}$ . Είναι x_1 > 0

. Πρέπει ακόμα x<c

.

$\displaystyle c > \frac{{c\left( {a + b} \right) + b\sqrt {{c^2} + {a^2} + 2ab} }}{{a + 2b}} \Leftrightarrow c > \sqrt {{c^2} + {a^2} + 2ab}$ , αδύνατη, άρα δεν είναι δεκτή λύση.

Έστω $\displaystyle {x_2} = \frac{{c\left( {a + b} \right) - b\sqrt {{c^2} + {a^2} + 2ab} }}{{a + 2b}}$ . Πρέπει 0<x<c

.

Είναι $\displaystyle {x_2} > 0 \Leftrightarrow c\left( {a + b} \right) > b\sqrt {{c^2} + {a^2} + 2ab} \Leftrightarrow \left( {{c^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + 2ab} \right) > 0 \Leftrightarrow c > b$ .

Επίσης, είναι $\displaystyle c > \frac{{c\left( {a + b} \right) - b\sqrt {{c^2} + {a^2} + 2ab} }}{{a + 2b}} \Leftrightarrow c > - \sqrt {{c^2} + {a^2} + 2ab}$ , που ισχύει.

Oπότε αν ισχύει η ανίσωση c > b

είναι δεκτή η ρίζα x_2

.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιαν 05, 2021 12:17 pm Επίσης και με Φυσική (Νόμος Snell) για χρονικά συντομότερη διαδρομή του φωτός σε ομογενή μέσα διαφορετικής πυκνότητας.

Δοκίμασα και με το Θεώρημα Snell-Fermat.

Ισχύει $\displaystyle \frac{{\eta \mu \left( {90^\circ - 2\theta } \right)}}{{AS}} = \frac{{\eta \mu \theta }}{{{\rm B}'S}} \Leftrightarrow \frac{{\sigma \upsilon \nu 2\theta }}{{AS}} = \frac{{\eta \mu \theta }}{{{\rm B}S}}$ , αλλά εμπλέκονται και τα (άγνωστα) μήκη AS, BS

, και δεν βλέπω πώς θα μπορούσε να βοηθήσει.

edit: Έκανα μια διόρθωση στην αρχική ανάρτηση. Κι επισυνάπτω κι ένα αρχείο Geogebra που επαληθεύει τα parap;anv συμπεράσματα.

ΟΔΗΓΙΕΣ: Αλλάξτε τις τιμές των AA' = a, BB' = b, A'B' =c

. Κινήστε το

. Μόλις βρεθεί στο

ισχύει η συνθήκη της άσκησης. To

έχει τετμημένη την τιμή x_2

.

KARKAR · #4

Υπάρχει ( όπως αναφέρει και ο Μιχάλης ) μια σχετικά απλή ευκλείδεια λύση . Δεν την θυμόμουνα

και αναγκάστηκα να την επανανακαλύψω . Δεν την αναφέρω ακόμη , είναι πάντως πολύ όμορφη ...

#5

: Διπλάσια γωνία 16_κατασκευή.png (12.05 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές

Δύο λόγια σε λίγο

#6

Doloros έγραψε: Τετ Ιαν 06, 2021 11:01 pm Διπλάσια γωνία 16_κατασκευή.png

Δύο λόγια σε λίγο

Δεν νομίζω Νίκο να χρειάζονται λόγια

Διπλάσια γωνία 16

Διπλάσια γωνία 16

Re: Διπλάσια γωνία 16

Re: Διπλάσια γωνία 16

Re: Διπλάσια γωνία 16

Re: Διπλάσια γωνία 16

Re: Διπλάσια γωνία 16

Μέλη σε σύνδεση