Ορθόκεντρο από γωνίες

KARKAR · #1

: Ορθόκεντρο από γωνίες.png (7.17 KiB) Προβλήθηκε 720 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι γνωστό ότι : $\tan B=\dfrac{8}{3}$ και $\tan C=\dfrac{4}{5}$ . Να προσδιοριστεί το ορθόκεντρο

του τριγώνου . Προτεινόμενος τρόπος : Σχεδιάστε το ύψος

και εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AH}{HD}$

Αν η λύση σας είναι διαφορετική , μην παραλείψετε τον υπολογισμό του ζητούμενου λόγου .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 25, 2021 7:50 am Ορθόκεντρο από γωνίες.pngΣτο τρίγωνο είναι γνωστό ότι : $\tan B=\dfrac{8}{3}$ και $\tan C=\dfrac{4}{5}$ . Να προσδιοριστεί το ορθόκεντρο

του τριγώνου . Προτεινόμενος τρόπος : Σχεδιάστε το ύψος και εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AH}{HD}$

Αν η λύση σας είναι διαφορετική , μην παραλείψετε τον υπολογισμό του ζητούμενου λόγου .

Φέρνουμe το ύψος

(που διέρχεται και άρα προσδιορίζει το

), οπότε $\angle CBE = 90 -C$ . Έχουμε τότε

$\displaystyle{ HD = BD \tan (\angle CBE) = \dfrac {BD} {\tan C} = \dfrac {AD}{\tan B \tan C} = \dfrac {AD}{\frac {8}{3}\cdot \frac {4}{5} } = \dfrac {15}{32}AD}$

Άρα και $\displaystyle{ AH = \dfrac {17}{32}AD}$ , οπότε ο ζητούμενος λόγος είναι $\displaystyle{ \dfrac {17}{15}}$

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 25, 2021 7:50 am Ορθόκεντρο από γωνίες.pngΣτο τρίγωνο είναι γνωστό ότι : $\tan B=\dfrac{8}{3}$ και $\tan C=\dfrac{4}{5}$ . Να προσδιοριστεί το ορθόκεντρο

του τριγώνου . Προτεινόμενος τρόπος : Σχεδιάστε το ύψος και εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AH}{HD}$

Αν η λύση σας είναι διαφορετική , μην παραλείψετε τον υπολογισμό του ζητούμενου λόγου .

Παρόμοιο.

Επειδή $\displaystyle \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{8}{3},\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{8}{{10}},$ αν θέσω BD=3k

τότε θα είναι DC=10k, AD=8k.

: Ορθόκεντρο από γωνίες.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

$\displaystyle \tan \theta = \tan C \Leftrightarrow \frac{{3k}}{{HD}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow HD = \frac{{15k}}{4} \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{AD - HD}}{{HD}} = \frac{{17}}{{15}}}$

#4

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, άρα $\displaystyle AD = 2R\sin B\sin C$ και $\displaystyle AH = 2R\cos A$

$\displaystyle \frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{AH}}{{AD - AH}} = - \frac{{2R\cos (B + C)}}{{2R\sin B\sin C + 2R\cos (B + C)}} =$

$\displaystyle - \frac{{\cos (B + C)}}{{\cos B\cos C}} = \tan B\tan C - 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AH}}{{HD}} = \frac{{17}}{{15}}}$

Ορθόκεντρο από γωνίες

Ορθόκεντρο από γωνίες

Re: Ορθόκεντρο από γωνίες

Re: Ορθόκεντρο από γωνίες

Re: Ορθόκεντρο από γωνίες

Μέλη σε σύνδεση