Ημιεργασίες

KARKAR · #1

: Ημιεργασίες.png (14.75 KiB) Προβλήθηκε 876 φορές

Στην διάμετρο AB=10

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, ώστε

. Γράφουμε και το

ημικύκλιο διαμέτρου

, επί της οποίας ( διαμέτρου ) κινείται σημείο

. Η κάθετη της

στο

,

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο σημείο

και το μεγάλο στο

.

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AM}{AN}$ ... β) Βρείτε την θέση του

, για την οποία προκύπτει : NM=MT

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 11, 2021 8:26 pm Ημιεργασίες.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , ώστε . Γράφουμε και το

ημικύκλιο διαμέτρου , επί της οποίας ( διαμέτρου ) κινείται σημείο . Η κάθετη της στο ,

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο σημείο και το μεγάλο στο .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AM}{AN}$ ... β) Βρείτε την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

και

.Με διαίρεση παίρνουμε $\dfrac{AM}{AN}= \sqrt{ \dfrac{7}{10} }$

Με Π.Θ στα τρίγωνα AMT,ANT

έχουμε

και

Με διαίρεση $\dfrac{7}{10} = \dfrac{1+y^2}{1+4y^2}$ όπου $y= \dfrac{x}{AT}=tan \theta$ .Έτσι ,εύκολα βρίσκουμε

$y^2=tan^2 \theta = \dfrac{1}{6}= \dfrac{MS^2}{MA^2}$ κι από $MS^2+MA^2=49 \Rightarrow MS^2=7 \Rightarrow 7ST=7 \Rightarrow ST=1$

: Ημιεργασίες.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

#3

α) Θ Ευκλείδη στα ορθογώνια τρίγωνα $NAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAB$ .

$\left\{ \begin{gathered} A{M^2} = 7AT \hfill \\ A{N^2} = 10AT \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{AM}}{{AN}} = \sqrt {\frac{7}{{10}}} }$

: ημιεργασίες.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές

β) $\left\{ \begin{gathered} M{T^2} = x\left( {7 - x} \right) \hfill \\ 4M{T^2} = N{T^2} = \left( {7 - x} \right)\left( {x + 3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 4x\left( {7 - x} \right) = \left( {7 - x} \right)\left( {3 + x} \right) \Rightarrow x = 1$

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Μάιος 11, 2021 8:26 pm Ημιεργασίες.pngΣτην διάμετρο ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , ώστε . Γράφουμε και το

ημικύκλιο διαμέτρου , επί της οποίας ( διαμέτρου ) κινείται σημείο . Η κάθετη της στο ,

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο σημείο και το μεγάλο στο .

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AM}{AN}$ ... β) Βρείτε την θέση του , για την οποία προκύπτει : .

α) Όπως οι προηγούμενοι. Για AT=x,

είναι $\displaystyle A{M^2} = 7x,A{N^2} = 10x,$ ... κλπ.

: Ημιεργασίες.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

β) 1ο θεώρημα διαμέσων στο ATN:

$\displaystyle A{N^2} + A{T^2} = 2A{M^2} + \frac{{A{T^2}}}{2} \Leftrightarrow 10x + {x^2} = 2 \cdot 7x + \frac{{x(10 - x)}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=6}$

nickchalkida · #5

Για το β).
Όταν NM=MT

θα είναι $tan(\beta) = 2\tan(\alpha)$ . Τότε

$\displaystyle{ {\displaystyle {TS \over MT} \over \displaystyle {TB \over TN}} = {1 \over 2} \rightarrow {\displaystyle {TS \over MT} \over \displaystyle {TB \over 2 \cdot MT}} = {1 \over 2} \rightarrow {TS \over TB} = {1 \over 4} \rightarrow TS = 1 }$

Ημιεργασίες

Ημιεργασίες

Re: Ημιεργασίες

Re: Ημιεργασίες

Re: Ημιεργασίες

Re: Ημιεργασίες

Μέλη σε σύνδεση