Μεγιστοποίηση εμβαδού 35

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση εμβαδού 35.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 645 φορές

Τα σημεία B' , C'

είναι οι προβολές των κορυφών B , C

, τριγώνου ABC

, σε μεταβλητή ευθεία $(\varepsilon)$ ,

η οποία διέρχεται από την κορυφή

. Τα

είναι τα μέσα των πλευρών AB , AC

αντίστοιχα .

Υπολογίστε την θέση της $(\varepsilon)$ , για την οποία έχουμε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου B'MNC'

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 21, 2021 9:47 am Μεγιστοποίηση εμβαδού 35.pngΤα σημεία είναι οι προβολές των κορυφών , τριγώνου , σε μεταβλητή ευθεία $(\varepsilon)$ ,

η οποία διέρχεται από την κορυφή . Τα είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .

Υπολογίστε την θέση της $(\varepsilon)$ , για την οποία έχουμε το μέγιστο εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Έστω $E = \left( {B'MNC'} \right)$ .

Είναι $E = \left( {AMN} \right) + \left( {AMB'} \right) + \left( {ANC'} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {ABC} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {AB'B} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {ACC'} \right)$ και άρα :

$E = \dfrac{1}{4}\left( {ABC} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\left( {BB'C'C} \right) - \left( {ABC} \right)} \right)$ , δηλαδή : $\boxed{E = \frac{1}{2}\left( {AB'C'C} \right) - \frac{1}{4}\left( {ABC} \right)}$ .

: Μεγιστοποίηση εμβαδού 35.png (35.68 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με μια των παραλλήλων πλευρών του επί την απόσταση του μέσου της άλλης απ’ αυτή.

Συνεπώς το μέγιστο εμβαδόν του

προκύπτει αν το τραπέζιο BB'C'C

έχει μέγιστο εμβαδόν.

Αυτό εύκολα προκύπτει ότι θα συμβεί όταν γράψω το κύκλο διαμέτρου

, με

το σταθερό μέσο του

,

και από το κέντρο

αυτού του κύκλου φέρω κάθετη στην

η οποία θα κόψει τον κύκλο στο βόρειο πόλο

. Η

είναι η ζητούμενη ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ .

Παρατήρηση :

Τότε το τετράπλευρο MNC'B'

είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου B'C'

.

με

το μέγιστο εμβαδόν προκύπτει : ${E_{\max }} = 51,125$

: Μεγιστοποίηση εμβαδού 35_ok.png (32.93 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Μεγιστοποίηση εμβαδού 35

Μεγιστοποίηση εμβαδού 35

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού 35

Μέλη σε σύνδεση