Ελάχιστη υποτείνουσα

KARKAR · #1

: Ελάχιστη υποτείνουσα.png (9.11 KiB) Προβλήθηκε 671 φορές

Από σημείο

, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση OS=d

, από το κέντρο του κύκλου (O, r ) , ( d > r )

,

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Η ευθεία

τέμνει την άλλη εφαπτομένη από το

, στο σημείο

.

Για ποια θέση του

, ελαχιστοποιείται το τμήμα

;

#2

Μεταβλητή το μήκος $OS = d \equiv x$ . Ας είναι

το άλλο σημείο επαφής και

το αντιδιαμετρικό του

.

Θέτω: $TS = k\,,\,\,PD = y\,\,,\,\,EP = m$ . Από Θ διχοτόμου στο $\vartriangle STP$ και δύναμη του

έχω:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{k + y}}{k} = \frac{{m + r}}{r} \hfill \\ {y^2} = m\left( {m + 2r} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Διώχνω το

κι έχω: $\boxed{y = \frac{{2k{r^2}}}{{{k^2} - {r^2}}}}$ .

: Ελάχιστη υποτείνουσα_κατασκευή_οκ.png (15.87 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Επειδή $T{S^2} = O{S^2} - O{T^2} \Rightarrow k = \sqrt {{x^2} - {r^2}}$ , η συνάρτηση που δίδει το μήκος

$PS = k + y = f\left( x \right) = {x^2}\dfrac{{\sqrt {{x^2} - {r^2}} }}{{{x^2} - 2{r^2}}}\,\,,\,\,x > r > 0$ . για $\displaystyle \boxed{{x_0} = r\frac{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}{2}}$ παρουσιάζει ελάχιστη τιμή.

Παρατήρηση :
Υποβόσκει χρυσή τομή

nickchalkida · #3

Επειδή $\displaystyle SA = {OA \over \tan \alpha}$ και $\displaystyle PA = OA \cot ({\pi \over 2}-2\alpha) = OA \tan (2\alpha)$ ζητάμε την εύρεση του

$\displaystyle{ \bigl( {OA \over \tan \alpha} + OA \tan (2\alpha) \bigr)_{min} }$

η οποία για σταθερό

και για $\tan \alpha = x$ ανάγεται στην εύρεση του $\displaystyle \bigl( {1 \over x} + {2x \over 1-x^2} \bigr)_{min}$

Παραγωγίζοντας βρίσκω

$\displaystyle{ {d\over dx}\bigl( {1 \over x} + {2x \over 1-x^2} \bigr) = {x^4 +4x^2 -1\over x^2(x+1)^2(x-1)^2} }$

που έχει πραγματικές ρίζες $\displaystyle x_{1,2} = \pm \sqrt{\sqrt{5}-2}$ , άρα θα είναι τότε $\alpha = \arctan(x_1) = 25.9136^o$

Ελάχιστη υποτείνουσα

Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Re: Ελάχιστη υποτείνουσα

Μέλη σε σύνδεση