Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

KARKAR · #1

: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 784 φορές

Μπορούμε να εντοπίσουμε σημείο

στην προέκταση της διαμέτρου AOB=2R

ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε αν φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την διχοτόμο

της $\widehat{TSA}$ , να προκύψει : $PT \parallel AB$ ;

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 05, 2021 8:51 am Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.pngΜπορούμε να εντοπίσουμε σημείο στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε αν φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την διχοτόμο της $\widehat{TSA}$ , να προκύψει : $PT \parallel AB$ ;

: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Ας είναι

η ορθή προβολή του

επί την

. Από τη διχοτόμο και την παραλληλία προφανώς είναι TP=TS=2x

και προφανώς $OD=\dfrac{PT}{2}=x$
Στο ορθογώνιο τρίγωνο (λόγω επαφής) $\vartriangle OTS\Rightarrow O{{T}^{2}}=OD\cdot OS\overset{\Pi .\Theta }{\mathop{\Rightarrow }}\,{{R}^{2}}=x\cdot \sqrt{4{{x}^{2}}+{{R}^{2}}}\Leftrightarrow$
${{R}^{4}}={{x}^{2}}\left( 4{{x}^{2}}+{{R}^{2}} \right)\Leftrightarrow 4{{x}^{4}}+{{R}^{2}}{{x}^{2}}-{{R}^{4}}=0:\left( 1 \right)$
Από την διτετράγωνη εξίσωση $\left( 1 \right)$ προκύπτει $\ldots {{x}^{2}}=\dfrac{{{R}^{2}}\left( \sqrt{17}-1 \right)}{8}\Rightarrow x=\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}$ και συνεπώς το

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής της εφαπτόμενης στο

που ορίζεται ως το σημείο τομής της κάθετης στην

στο σημείο

με το ημικύκλιο για το οποίο είναι $OD=\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}}$

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Δεκ 05, 2021 8:51 am Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.pngΜπορούμε να εντοπίσουμε σημείο στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , τέτοιο

ώστε αν φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την διχοτόμο της $\widehat{TSA}$ , να προκύψει : $PT \parallel AB$ ;

Ας είναι

η προβολή του

στην διάμετρο. Η τετράδα , $\left( {A,B\backslash K,S} \right)$ είναι αρμονική.

Θέτω: $OA = R,\,\,OK = m,\,\,BS = x$ . Θα είναι έτσι PT = TS = 2m

.

Από την αρμονική αναλογία και τη δύναμη του σημείου

έχω ταυτόχρονα .
.

: παραλληλία απο επαφή και διχοτόμηση.png (13.81 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

.
$\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{k} = \frac{{3R + x}}{{2R - k}} \hfill \\ 4{m^2} = x\left( {2R + x} \right) \hfill \\ m = R - k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{{Rx}}{{R + x}} \hfill \\ 4{\left( {R - k} \right)^2} = x\left( {2R + x} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ διαγράφω το

και προκύπτει :

${x^4} + 4R{x^3} + 5{R^2}{x^2} + 2{R^3}x - 4{R^4} = 0$ , με μια δεκτή ρίζα : $\boxed{x = R\left( {\sqrt {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2}} - 1} \right)}$ .

#4

Κάτι παρόμοιο με τον Στάθη. Αν OD=x

τότε

: παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

$\displaystyle \frac{{SD}}{{OD}} = \frac{{T{S^2}}}{{O{T^2}}} \Leftrightarrow \frac{{SD}}{x} = \frac{{4{x^2}}}{{{R^2}}}$ (1)

$\displaystyle S{T^2} = SD(SD + x) \Leftrightarrow S{D^2} + xSD - 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{SD}}{x} = \frac{{\sqrt {17} - 1}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{x = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{{\sqrt {17} - 1}}{2}} }$

#5

george visvikis έγραψε: Δευ Δεκ 06, 2021 1:02 pm Κάτι παρόμοιο με τον Στάθη. Αν τότε παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση.png
$\displaystyle \frac{{SD}}{{OD}} = \frac{{T{S^2}}}{{O{T^2}}} \Leftrightarrow \frac{{SD}}{x} = \frac{{4{x^2}}}{{{R^2}}}$

$\displaystyle S{T^2} = SD(SD + x) \Leftrightarrow S{D^2} + xSD - 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{SD}}{x} = \frac{{\sqrt {17} - 1}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{x = \frac{R}{2}\sqrt {\frac{{\sqrt {17} - 1}}{2}} }$

Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

Re: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

Re: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

Re: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

Re: Παραλληλία από επαφή και διχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση