Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

#1

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

οι κύκλοι με διαμέτρους $AB,\, AC$ τέμνουν τα ύψη από τα

και

στα σημεία H,K

και $F,\, G$ , αντίσοιχα. Δείξτε ότι τα $F,\,H,\, G,\,K$ είναι ομοκυκλικά.

Σχόλιο. Μου εστάλη από Ρουμανία. Η λύση που έχω είναι μεν απλή και λίγων γραμμών, όμως είναι εκτός ύλης. Οι ίδιοι ισχυρίζονται ότι έχει προταθεί σε κάποιο περιοδικό τους για μαθητές Β' Γυμνασίου. Αν είναι έτσι, νομίζω ότι πρόκειται για μαθητές Β' Γυμνασίου σε άλλο πλανήτη. Οπότε περιμένω να δω αν υπάρχει λύση απλούστερη από την δική μου.

S.E.Louridas · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιαν 04, 2022 12:32 pm Σε οξυγώνιο τρίγωνο οι κύκλοι με διαμέτρους $AB,\, AC$ τέμνουν τα ύψη από τα και στα σημεία και $F,\, G$ , αντίσοιχα. Δείξτε ότι τα $F,\,H,\, G,\,K$ είναι ομοκυκλικά.

Σχόλιο. Μου εστάλη από Ρουμανία. Η λύση που έχω είναι μεν απλή και λίγων γραμμών, όμως είναι εκτός ύλης. Οι ίδιοι ισχυρίζονται ότι έχει προταθεί σε κάποιο περιοδικό τους για μαθητές Β' Γυμνασίου. Αν είναι έτσι, νομίζω ότι πρόκειται για μαθητές Β' Γυμνασίου σε άλλο πλανήτη. Οπότε περιμένω να δω αν υπάρχει λύση απλούστερη από την δική μου.

Μιχάλη καταρχήν Χρόνια Πολλά και Καλά για το 2022 σε εσένα και τους Ανθρώπους σου.

Αν οι μαθητές της Β’ γυμνασίου γνωρίζουν ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων, τότε, $\vartriangle ADC \sim \vartriangle AEB \Rightarrow AD \cdot AB = AE \cdot AC\;\left( 1 \right),\;\vartriangle AHC \sim \vartriangle AEH \Rightarrow A{H^2} = AE \cdot AC\;\left( 2 \right),$ $\vartriangle AGB \sim \vartriangle AGD \Rightarrow A{G^2} = AD \cdot AB\;\left( 3 \right),\;\,\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow AF = AG = AH = AK.$
Άρα έχουμε κύκλο κέντρου (A)

που διέρχεται από τα σημεία F,H,G,K.

... λέμε τώρα ...

Τσιαλας Νικολαος · #3

Κύριε Μιχάλη καλή χρονιά! Θα ήθελα να αναφερθώ πάνω στο σχόλιο σας, το οποίο αναφέρατε και σε προηγούμενο ποστ σας. Αν τα παιδιά της Β' γυμνασίου στα οποία δόθηκε αυτή η άσκηση(όπως και η προηγούμενη) είναι δουλεμένα για διαγωνισμούς,τότε είναι απολύτως φυσιολογικό ακόμη και για Ελλάδα! Πόσο μάλλον για την Ρουμανία, που όπως ξέρετε καλύτερα από κάθε άλλον, έχει 10 φορές καλύτερο μαθηματικό επίπεδο από εμάς!

#4

S.E.Louridas έγραψε: Τρί Ιαν 04, 2022 1:07 pm Μιχάλη καταρχήν Χρόνια Πολλά και Καλά για το 2022 σε εσένα και τους Ανθρώπους σου.

Αν οι μαθητές της Β’ γυμνασίου γνωρίζουν ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων, τότε, $\vartriangle ADC \sim \vartriangle AEB \Rightarrow AD \cdot AB = AE \cdot AC\;\left( 1 \right),\;\vartriangle AHC \sim \vartriangle AEH \Rightarrow A{H^2} = AE \cdot AC\;\left( 2 \right),$ $\vartriangle AGB \sim \vartriangle AGD \Rightarrow A{G^2} = AD \cdot AB\;\left( 3 \right),\;\,\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow AF = AG = AH = AK.$
Άρα έχουμε κύκλο κέντρου που διέρχεται από τα σημεία

Σωτήρη, να 'σαι καλά. Χρόνια Πολλά και από εμένα.

Χίλια ευχαριστώ. Η λύση μου είναι διαφορετική και θα την γράψω αργότερα. Κλέβω από τις ιδέες σου με γνώμονα να γλιτώσουμε από κάποιες ομοιότητες τριγώνων. Να ένα επιχείρημα σίγουρα είναι μέσα στις γνώσεις Β' Γυμνασίου, αλλά απαντά μόνο εν μέρη:

Στον αριστερό κύκλο η χορδή

είναι κάθετη στην διάμετρο

, άρα η διάμετρος είναι μεσοκάθετος της

. Άρα

. Aυτή ειναι μία από τις ισότητες που έγραψες. Όμοια AH=AK

.

Aν κάπως βγάλουμε ίσα μεταξύ τους τα δύο ζεύγη (όπως έκανες), τελειώσαμε. Το ξάχνω μήπως βρω τρόπο χωρίς ομοιότητα. Ίδωμεν.

Αν θέλουμε ομοιότητα από εδώ και κάτω, ένας τρόπος είναι όπως το έκανες. Μικρή, απειροελάχιστη, παραλλαγή του είναι η εξής: Από το ορθογώνιο τρίγωνο AHE

είναι $AH^2=AE\cdot EC$ που ισούται $AD\cdot AB$ που ισούται AG^2

. Άρα συνδέσαμε τα δύο ζεύγη ισοτήτων, και τελειώσαμε.

#5

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Τρί Ιαν 04, 2022 2:33 pm Κύριε Μιχάλη καλή χρονιά! Θα ήθελα να αναφερθώ πάνω στο σχόλιο σας, το οποίο αναφέρατε και σε προηγούμενο ποστ σας. Αν τα παιδιά της Β' γυμνασίου στα οποία δόθηκε αυτή η άσκηση(όπως και η προηγούμενη) είναι δουλεμένα για διαγωνισμούς,τότε είναι απολύτως φυσιολογικό ακόμη και για Ελλάδα! Πόσο μάλλον για την Ρουμανία, που όπως ξέρετε καλύτερα από κάθε άλλον, έχει 10 φορές καλύτερο μαθηματικό επίπεδο από εμάς!

Νικόλαε, Καλή Χρονιά. Συμφωνούμε απολύτως.

Απλά μου παρουσίασαν την παραπάνω άσκηση, και άλλες τρεις που τις ανάρτησα σε άλλα ποστ αυτές τις μέρες, ως παραδοτέες από μαθητές κοινής τάξης (όχι Ολυμπιακής) για μετά τις διακοπές. Φυσικά βρέθηκε σε πανικό η Καθηγήτρια του παράλληλου τμήματος γιατί ή δεν τις έλυσε καθόλου η ίδια ή τις έλυσε αλλά όχι εντός ύλης. Οπότε ζήτησε βοήθεια από την Ελλαδίτσα μας.

Έχω διδάξει πολλά καλοκαίρια σε μαθητές εκεί, σε κοινά σχολεία, και βλέπω από κοντά την δουλειά που κάνουν. Μόνο το ότι έρχονται καλοκαιριάτικα για μαθήματα, λέει πολλά. Θαυμάζω τον ενθουσιασμό πολλών μαθητών ή των Συναδέλφων, εκεί.

#6

Το σχήμα στη λύση του Σωτήρη με την παραλλαγή του Μιχάλη.

: Ομοκυκλικά με ύψη τριγώνου.png (26.06 KiB) Προβλήθηκε 1068 φορές

$\displaystyle A{G^2} = A{F^2} = AD \cdot AB = AE \cdot AC = A{K^2} = A{H^2},$

άρα τα σημεία F, H, G, K

βρίσκονται στον ίδιο κύκλο κέντρου

#7

Γράφω την εκτός ύλης λύση που έχω.

Θα χρησιμοποιήσω το γεγονός ότι τρεις ανά ζεύγη τεμνόμενοι κύκλοι έχουν συντρέχουσες τις κοινές χορδές τους.

Γράφουμε το ύψος

, που διέρχεται βέβαια από το σημείο (ορθόκεντρο)

στο οποίο τέμνονται τα άλλα δύο ύψη. Επίσης γράφουμε τον κόκκινο κύκλο από τα $F,\,G,\, H$ , για τον οποίο θέλουμε να δείξουμε ότι διέρχεται από το

.

Οι τρεις κύκλοι του σχήματος έχουν κοινές χορδές τις

και

(τις βλέπω). Άρα η τρίτη κοινή χορδή, που βέβαια διέρχεται από το

γιατί εκεί τέμνονται ο κόκκινος και ο δεξί κύκλος, σίγουρα είναι ο φορέας του

γιατί οι τρεις χορδές συντρέχουν. Άρα η τρίτη κοινή χορδή είναι το ύψος από το

, αφού περιέχει τα σημεία $H,\,L$ . Αλλά εξ όρισμό αυτό το ύψος διέρχεται από το

. Συνεπώς το

ανήκει στον κόκκινο κύκλο, όπως θέλαμε να δείξουμε.

Γιώργος Μήτσιος · #8

Καλό βράδυ σε όλους! Ας μου επιτραπεί μια σκέψη για την απόδειξη των σχέσεων

$AB\cdot AD=AE\cdot AC$ και $AK^{2}=AE\cdot AC$ .

Αν κάνουμε χρήση του ορισμού του ημιτόνου (που διδάσκεται στην Β' Γυμνασίου) έχουμε:
(Δείτε και στο σχήμα του Γιώργου)

Στα ορθογώνια τρίγωνα ABE,ADC

είναι $\widehat{B}=\widehat{C}$ ως συμπληρωματικές της $\widehat{BAC}$ .

Τότε $\dfrac{AE}{AB}=sinB=sinC=\dfrac{AD}{AC}$ άρα $AB\cdot AD=AE\cdot AC$

Ακόμη είναι $\widehat{KCA}=\widehat{AKE}=\omega$ ως συμπληρωματικές της $\widehat{KAC}$ ,οπότε $\dfrac{AK}{AC}=sin\omega =\dfrac{AE}{AK}$

άρα $AK^{2}=AE\cdot AC$ . Ακριβώς όμοια δείχνουμε $AF^{2}=AD\cdot AB$ .

Φιλικά, Γιώργος.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιαν 04, 2022 12:32 pm Σε οξυγώνιο τρίγωνο οι κύκλοι με διαμέτρους $AB,\, AC$ τέμνουν τα ύψη από τα και στα σημεία και $F,\, G$ , αντίσοιχα. Δείξτε ότι τα $F,\,H,\, G,\,K$ είναι ομοκυκλικά.

Σχόλιο. Μου εστάλη από Ρουμανία. Η λύση που έχω είναι μεν απλή και λίγων γραμμών, όμως είναι εκτός ύλης. Οι ίδιοι ισχυρίζονται ότι έχει προταθεί σε κάποιο περιοδικό τους για μαθητές Β' Γυμνασίου. Αν είναι έτσι, νομίζω ότι πρόκειται για μαθητές Β' Γυμνασίου σε άλλο πλανήτη. Οπότε περιμένω να δω αν υπάρχει λύση απλούστερη από την δική μου.

Στο ίδιο σκεπτικό του Μιχάλη ( στο σχήμα της λύσης του )

Αν

είναι το ορθόκεντρο του αρχικού τριγώνου τότε απο το θεώρημα των τεμνομένων χορδών θα είναι : LH . LK = LA . LM = LG . LF

, όποτε σύμφωνα με το αντίστροφο του ως άνω θεωρήματος θα είναι F , H , G ,K

ομοκυκλικά

Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Re: Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Re: Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Re: Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Re: Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Re: Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Re: Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Re: Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Re: Ομοκυκλικά σημεία στα ύψη τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση