Εύ-λογος

KARKAR · #1

: Εύ-λογος.png (10.72 KiB) Προβλήθηκε 587 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου

, βρίσκονται σημεία C , D

, των οποίων οι προβολές στην

, είναι

τα σημεία S , T

αντίστοιχα . Αν : AC:CD:DA=2:3:4

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{TB}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 04, 2022 7:57 pm Εύ-λογος.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , βρίσκονται σημεία , των οποίων οι προβολές στην , είναι

τα σημεία αντίστοιχα . Αν : , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{TB}$ .

Με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο $ACD \Rightarrow cos \hat{ACD}=- \dfrac{1}{4}$ άρα $cosB= \dfrac{1}{4}= \dfrac{DB}{2R} \Rightarrow DB= \dfrac{R}{2}$

και με Π.Θ στο τρίγωνο ADB

παίρνουμε $DB^2= \dfrac{16x^2}{15}$

$\dfrac{AS}{TB}= \dfrac{ \dfrac{AC^2}{2R} }{ \dfrac{DB^2}{2R} }= \dfrac{4x^2}{DB^2}= \dfrac{15}{4}$

: Εύ-λογος.png (19.75 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

#3

Από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει : $\left( {ABC} \right) = E = \dfrac{{3{x^2}}}{4}\sqrt {15}$ και άρα η ακτίνα

του ημικυκλίου είναι , $R = \dfrac{{2x \cdot 3x \cdot 4x}}{{4E}} = \dfrac{{6{x^3}}}{E}$ και λόγω του προηγούμενου τύπου :

$R = \dfrac{{8x\sqrt {15} }}{{15}} \Rightarrow \boxed{2R = AB = \frac{{16x\sqrt {15} }}{{15}}}\,\,\left( 1 \right)$ . Από το Θ Ευκλείδη στα $\vartriangle CAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle DAB$ ,

: Εύλογος.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

$\left\{ \begin{gathered} AS = \frac{{15}}{4} \cdot \frac{x}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ AT = x\sqrt {15} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AS = \frac{{15}}{4} \cdot \frac{x}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ TB = 2R - x\sqrt {15} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AS = \frac{{15}}{4} \cdot \frac{x}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ TB = \frac{{16x}}{{\sqrt {15} }} - x\sqrt {15} = \frac{x}{{\sqrt {15} }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Συνεπώς: $\boxed{\frac{{AS}}{{TB}} = \frac{{15}}{4}}$

#4

$\displaystyle \frac{{AS}}{{TB}} = \frac{{A{C^2}/2R}}{{D{B^2}/2R}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{AS}}{{TB}} = \frac{{{x^2}}}{{{R^2} - 4{x^2}}}}$ (1)

: Εύ-λογος.png (14.42 KiB) Προβλήθηκε 537 φορές

Θεώρημα Πτολεμαίου στο ACDB:

$\displaystyle 6Rx + 2x\sqrt {4{R^2} - 16{x^2}} = 4x\sqrt {4{R^2} - 4{x^2}} \Leftrightarrow 3R + 2\sqrt {{R^2} - 4{x^2}} = 4\sqrt {{R^2} - {x^2}} ,$

απ' όπου $\displaystyle x = \frac{{R\sqrt {15} }}{8}$ και από την (1),

$\boxed{\frac{AS}{TB}=\frac{15}{4}}$

Εύ-λογος

Εύ-λογος

Re: Εύ-λογος

Re: Εύ-λογος

Re: Εύ-λογος

Μέλη σε σύνδεση