Δια του λόγου το αληθές

#1

: Δια του λόγου το αληθές.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 1187 φορές

είναι η διχοτόμος τριγώνου ABC

και

σημεία των πλευρών BC, AB

αντίστοιχα, ώστε DE||AB

και

Αν $\displaystyle \frac{{(AFEC)}}{{(BEF)}} = 4,$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{BC}{AB}$ (μπορείτε και χωρίς αριθμητικό αποτέλεσμα).

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: Τρί Μαρ 22, 2022 7:12 pm Δια του λόγου το αληθές.png
είναι η διχοτόμος τριγώνου και σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ώστε

και Αν $\displaystyle \frac{{(AFEC)}}{{(BEF)}} = 4,$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{BC}{AB}$ (μπορείτε και χωρίς αριθμητικό αποτέλεσμα).

Προφανώς το τετράπλευρο BFDE

είναι ρόμβος .Έστω BF=x,

$(BFE)=(EFD)=E_{0},(AFD)=E_{1},(EDC)=E_{2},$

Από την υπόθεση είναι $3E_{0}=E_{1}+E_{2},(1)$

και $2(E_{0})+(E_{1})+E_{2}=(ABC),(2), (1),(2)\Rightarrow 5E_{0}=(ABC),E_{1}+E_{2}=\dfrac{3}{5}(ABC),$

$FD//BC\Rightarrow \dfrac{c-x}{c}=\dfrac{x}{a}\Leftrightarrow x=\dfrac{ac}{a+c}, \dfrac{5E_{0}}{(ABC)}=\dfrac{x^{2}}{ac}\Leftrightarrow \dfrac{5ac}{(a+c)^{2}}=1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{c}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2},\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλό βράδυ στους Φίλους!
Ο ζητούμενος λόγος είναι $\Phi ^2}$ (στο αρχικό σχήμα του Γιώργου) , ή $\dfrac{1}{\Phi ^2}$ στο σχήμα που ακολουθεί.
Συμφωνούμε βεβαίως με τις τιμές του Γιάννη. Θα επανέλθω για αιτιολόγηση , αν δεν καλυφθεί.

: 22-3 Δια του λόγου.. G.V.png (122.08 KiB) Προβλήθηκε 1160 φορές

Φιλικά, Γιώργος

STOPJOHN · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Μαρ 22, 2022 9:49 pm Καλό βράδυ στους Φίλους!
Ο ζητούμενος λόγος είναι $\Phi ^2}$ (στο αρχικό σχήμα του Γιώργου) , ή $\dfrac{1}{\Phi ^2}$ στο σχήμα που ακολουθεί.
Συμφωνούμε βεβαίως με τις τιμές του Γιάννη. Θα επανέλθω για αιτιολόγηση , αν δεν καλυφθεί.
22-3 Δια του λόγου.. G.V.png

Φιλικά, Γιώργος

Καλημέρα Γιωργηδες , πήγε το μυαλό μου στον $\Phi$ και απομόνωσα το $\sqrt{5}$ για να το εκφράσω συναρτήση του $\Phi$ αλλα το άφησα ....για τις πολλές πράξεις

nickchalkida · #5

Παρόμοια με αυτήν του Γιάννη ... με τους συμβολισμούς του σχήματος (το σχήμα για τον λόγο ίσο με x_2

), επειδή

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & \dfrac{E_1 + \dfrac{E_2}{2} + E_3}{\dfrac{E_2}{2}} =4 \rightarrow \dfrac{E_1}{\dfrac{E_2}{2}} + \dfrac{E_3}{\dfrac{E_2}{2}} = 3\cr & \cr & \dfrac{E_1}{\dfrac{E_2}{2}} = \dfrac{AF}{FB} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{c}{a} \cr & \cr & \dfrac{E_3}{\dfrac{E_2}{2}} = \dfrac{EC}{BE} = \dfrac{DC}{AD} = \dfrac{a}{c} \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow x+\dfrac{1}{x} = 3 \rightarrow \left\{ \begin{aligned} & x_1 = \dfrac{3+\sqrt{5}}{2} = 1 + \Phi = \Phi^2 \cr & x_2 = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \cr \end{aligned} \right. }$

#6

george visvikis έγραψε: Τρί Μαρ 22, 2022 7:12 pm Δια του λόγου το αληθές.png
είναι η διχοτόμος τριγώνου και σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ώστε

και Αν $\displaystyle \frac{{(AFEC)}}{{(BEF)}} = 4,$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{BC}{AB}$ (μπορείτε και χωρίς αριθμητικό αποτέλεσμα).

Το τεράπλευρο BEDF

είναι ρόμβος πλευράς έστω

.

Η σχέση που δίνεται $\dfrac{{\left( {AFEC} \right)}}{{\left( {BEF} \right)}} = k\,\,,\,\,k > 0$ γράφεται ισοδύναμα: $\dfrac{{\left( {ABC} \right)}}{{\left( {BEF} \right)}} = k + 1 \Leftrightarrow \,\,\left( {ABC} \right) = \left( {k + 1} \right)\left( {BEF} \right)$

ή $ac = \left( {k + 1} \right){m^2}\,\,\left( 2 \right)$ .

Επειδή FD//BC

έχω: $\frac{{FD}}{{BC}} = \dfrac{{AF}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{m}{a} = \dfrac{{c - m}}{c} \Rightarrow m = \dfrac{{ac}}{{a + c}}\,\,\left( 3 \right)$ .

: Δια του λόγου το αληθές.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές

Θέτω $\boxed{a = cx}\,\,\left( 4 \right)$ και προκύπτει λόγω της $\left( 3 \right)$ , $m = \dfrac{{cx}}{{x + 1}}$ που αν τεθεί στην $\left( 2 \right)$ δίδει:

${c^2}x = \left( {k + 1} \right)\dfrac{{{c^2}{x^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow {x^2} + \left( {1 - k} \right)x + 1 = 0$ . Η εξίσωση αυτή έχει διακρίνουσα

$D = \left( {k - 3} \right)\left( {k + 1} \right)$ και επιβάλλεται k > 3

,

έτσι έχει ρίζες : $\boxed{x = \frac{{k - 1 \pm \sqrt {\left( {k - 3} \right)\left( {k + 1} \right)} }}{2}}$ . Αν π.χ. k = 4

έχω: $x = \dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}$ και λοιπά.

Γιώργος Μήτσιος · #7

Χαιρετώ και πάλι! Παρόμοια προσέγγιση

george visvikis έγραψε: Τρί Μαρ 22, 2022 7:12 pm
είναι η διχοτόμος τριγώνου και σημεία των πλευρών αντίστοιχα, ώστε

και Αν $\displaystyle \frac{{(AFEC)}}{{(BEF)}} = 4,$ να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{BC}{AB}$ (μπορείτε και χωρίς αριθμητικό αποτέλεσμα).

: 23-3 του λόγου το αληθές gv.png (118.78 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Έχουμε $\dfrac{\left ( BEF \right )}{(BAC)}=\dfrac{1}{5}$ και $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{BF}{AF}=\lambda$ οπότε $\dfrac{\left ( BEF \right )}{\left ( ABE \right )}=\dfrac{BF}{AB}=\dfrac{\lambda }{\lambda +1}$

ενώ $\dfrac{\left ( ABE \right )}{\left (BAC \right )}=\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{\lambda +1}$ . Με πολλαπλασιασμό προκύπτει $\dfrac{\lambda }{\left ( \lambda +1 \right )^{2}}=\dfrac{\left ( BEF \right )}{\left ( BAC \right )}=\dfrac{1}{5}$

$\Rightarrow \lambda ^2-3\lambda +1=0$ άρα $\lambda =\Phi ^2$ ή $\lambda =\Phi ^{-2}$ ... $\Phi$ ιλικά Γιώργος.

Δια του λόγου το αληθές

Δια του λόγου το αληθές

Re: Δια του λόγου το αληθές

Re: Δια του λόγου το αληθές

Re: Δια του λόγου το αληθές

Re: Δια του λόγου το αληθές

Re: Δια του λόγου το αληθές

Re: Δια του λόγου το αληθές

Μέλη σε σύνδεση