Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα

#1

Τριγώνου εμβαδού E = 210

, η μια πλευρά του είναι

και οι άλλες δύο έχουν άθροισμα

. Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές .

#2

Doloros έγραψε: Τρί Νοέμ 08, 2022 11:41 am Τριγώνου εμβαδού, η μια πλευρά του είναι και οι άλλες δύο έχουν άθροισμα . Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές .

Έστω

οι άλλες δύο πλευρές του τριγώνου οπου x+y=53.

Με τον τύπο του Ήρωνα είναι:

$\displaystyle \sqrt {35 \cdot 18(35 - x)(35 - y)} = 210\mathop \Leftrightarrow \limits^{x + y = 53} \sqrt {35 \cdot 18({{35}^2} - 35 \cdot 53 + xy)} = 210 \Leftrightarrow xy = 700$

Άρα οι x,y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} - 53t + 700 = 0 \Leftrightarrow t = 28 \vee t = 25$

#3

Doloros έγραψε: Τρί Νοέμ 08, 2022 11:41 am Τριγώνου εμβαδού, η μια πλευρά του είναι και οι άλλες δύο έχουν άθροισμα . Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές .

Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του γινομένου xy.

: Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

$\displaystyle (ABC) = 210 \Leftrightarrow \tau r = 210 \Leftrightarrow r = 6$ και $\displaystyle DC = \tau - c = 35 - 17 = 18.$

Είναι λοιπόν $\displaystyle \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \tan C = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos C = \frac{4}{5}$ και με νόμο συνημιτόνου,

$\displaystyle {17^2} = {(x + y)^2} - 2xy - 2xy\frac{4}{5}\mathop \Leftrightarrow \limits^{x + y = 53}$ $\boxed{xy=700}$ Τα υπόλοιπα όπως και πριν.

KARKAR · #4

: DOL.png (6.38 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Η πλευρά

, μας "κατευθύνει στην πυθαγόρεια τριάδα : "17-15-8

" ,

οπότε τα άλλα μήκη προκύπτουν αβίαστα

Henri van Aubel · #5

Πολύ σοφό και σβέλτο αυτό που είπε ο Θανάσης!!

Δεν είναι βέβαια εμπεριστατωμένη άποψη, αλλά έξυπνη σκέψη.

#6

Doloros έγραψε: Τρί Νοέμ 08, 2022 11:41 am Τριγώνου εμβαδού, η μια πλευρά του είναι και οι άλλες δύο έχουν άθροισμα . Να βρείτε τις άλλες δύο πλευρές .

Θεωρώ τον εγγεγραμμένο , $\left( {K,r} \right)$ κύκλο και τον παρεγγεγραμμένο $\left( {L,{r_a}} \right)$ στην πλευρά

του $\vartriangle ABC$ , με $\boxed{BC = a = 17}$ .

Ας είναι F,D

τα σημεία επαφής των κύκλων : $\left( {K,r} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {L,{r_a}} \right)$ με την ευθεία

. Θέτω: $FB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = y$

Η περίμετρος , $2s = 53 + 17 = 70 \Rightarrow s = 35$ .

: Εμβαδόν πλευρά άθροισμα_λύση.png (31.02 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

Όμως $AF = s - a = 53 - 35 = 18 \Rightarrow x + y = 17 = 10 + 7$ .

Και $210 = 35r\,\,\kappa \alpha \iota \,\,210 = {r_a}\left( {35 - 17} \right) \Rightarrow r = 6\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{r_a} = \dfrac{{35}}{3}$

Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα $FBK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DLB$ είναι όμοια θα έχω: $xy = 6 \cdot \dfrac{{35}}{3} \Leftrightarrow xy = 70 = 7 \cdot 10$ ,

δηλαδή : $x + y = 10 + 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,xy = 10 \cdot 7$ άρα τύποι Vieta

, $x = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = 7$ ή συμμετρικά οπότε : $\left( {b,c} \right) = \left( {28,25} \right)$ ή συμμετρικά.

Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα

Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα

Re: Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα

Re: Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα

Re: Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα

Re: Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα

Re: Εμβαδόν πλευρά και άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση