Διπλοεγγραφή

KARKAR · #1

: Διπλοεγγραφή.png (28.67 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο ABCD

με πλευρές AB=10 , BC=8

, με την επιπλέον

ιδιότητα : "Οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ABD

και

να εφάπτονται μεταξύ τους " .

Αν R , r

είναι οι ακτίνες των δύο κύκλων , υπολογίστε το γινόμενο :

.

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 15, 2023 12:38 pm
Διπλοεγγραφή.pngΝα κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο με πλευρές , με την επιπλέον

ιδιότητα : "Οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα και να εφάπτονται μεταξύ τους " .

Αν είναι οι ακτίνες των δύο κύκλων , υπολογίστε το γινόμενο : .

Έστω

το σημείο τομής των διαγωνίων και $\displaystyle AC = 2x,BD = 2y \Rightarrow AM = MC = x,BM = MD = y$

Με Θεώρημα διαμέσων εύκολα βρίσκω $\boxed{x^2+y^2=82}$ (1)

: Διπλοεγγραφή.Κ.png (22.67 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές

H ημιπερίμετρος του ABD

είναι

και του

είναι

Έτσι, $\displaystyle AT = 9 - y,BP = 9 - x$

Από την ομοιότητα των τριγώνων AOT, BKP

είναι $AT \cdot BP = Rr \Leftrightarrow$ $\boxed{(9 - y)(9 - x) = Rr}$ (2)

Αλλά, $\displaystyle AP + PB = 10 \Leftrightarrow AP + 9 - x = 10 \Leftrightarrow AP = 1 + x \Leftrightarrow$ $\boxed{x + y - 8 = TP = 2\sqrt {Rr}}$ (3)

Από τις

με απαλοιφή του

προκύπτει, $\displaystyle (9 - x)(9 - y) = \frac{{{{(x + y - 8)}^2}}}{4}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 89 - 10(x + y) + xy = 0$

και από τη (1),

$\boxed{x = 6 + \sqrt 5 ,y = 6 - \sqrt 5 }$

Κατασκευάζω το τρίγωνο AMB

με $AB=10, AM=6+\sqrt 5, MB=6-\sqrt 5,$ κλπ.

Από την (3)

είναι, $\displaystyle 6 + \sqrt 5 + 6 - \sqrt 5 - 8 = 2\sqrt {Rr} \Leftrightarrow$ $\boxed{Rr=4}$

Διπλοεγγραφή

Διπλοεγγραφή

Re: Διπλοεγγραφή

Re: Διπλοεγγραφή

Μέλη σε σύνδεση