Ελάχιστος λόγος

sakis1963 · #1

: 2023.02.17.FB11746 mathematica.jpg (38.61 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Έστω συνευθειακά σημεία A, B, C

.
Με διαμέτρους AB=2R, BC=2r, AC

κατασκευάζουμε ημικύκλια (στο ίδιο ημιεπίπεδο)
Το κοινό εφαπτόμενο τμήμα

προεκτεινόμενο τέμνει το ημικύκλιο

στα σημεία S, T

(όπως στο σχήμα)
Ας είναι (AS, SP, QT, TC)=(a, c, d, b)

και

i. δείξτε οτι ο λόγος $\dfrac{ab}{cd}$ είναι συνάρτηση του

ii. βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης

abgd · #2

: el logos.png (73.37 KiB) Προβλήθηκε 673 φορές

Με τη βοήθεια της δύναμης του σημείου

στο ημικύκλιο

και του

στο ημικύκλιο

, καθώς και τις αναλογίες που προκύπτουν από τις παράλληλες του παραπάνω σχήματος έχουμε:

$\displaystyle{ xa=c^2}$ , $\displaystyle{ yb=d^2}$ ,

$\displaystyle{ \frac{x}{a}=\frac{r}{R+r}}$ και

$\displaystyle{ \frac{y}{b}=\frac{R}{R+r}}$

Εύκολα, από τις παραπάνω, προκύπτει ότι: $\displaystyle{ \frac{ab}{cd}=\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k}}\geq2 }$ για $\displaystyle{ k=1}$

sakis1963 · #3

: 2023.02.17.FB11746 mathematica sol.jpg (46.59 KiB) Προβλήθηκε 642 φορές

Δίνω την λύση μου, απόπου προκύπτει και η ιδέα κατασκευής της άσκησης.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι οι AP, CQ

τέμνονται επί του ημικυκλίου

και οτι $PQ=t=2 \sqrt{Rr}$

Από Haruki

Λήμμα 2 έχουμε atb=2(R+r)cd

απόπου έπεται:

$\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{R+r}{\sqrt{Rr}}=\dfrac{k+1}{\sqrt{k}}=\sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k}}\geq{2}$ , με την ισότητα να ισχύει για k=1

Ελάχιστος λόγος

Ελάχιστος λόγος

Re: Ελάχιστος λόγος

Re: Ελάχιστος λόγος

Μέλη σε σύνδεση